取り得る値の範囲で模範解答と異なります

Question

2つの数a-2b、2a+3bを小数第一位で四捨五入すれば、それぞれ2、6となるときa、b、A=(a-2b)/(a+b)のとりえる値の範囲をそれぞれ求めよ。

という問題でまずa-2b=p、2a+3b=qとおいて1.5≦p＜2.5、5.5≦q＜6.5としa=(3p+2q)/7、b=(q-2p)/7を出して、31/14≦a＜41/14、1/14＜b＜1/2になりますよね。

次にa+b=(p+3q)/7から  (1.5+16.5≦p+3q＜2.5+19.5⇔18≦p+3q＜22)
18/7≦a+b＜22/7を出して、(7/22＜1/a+b≦7/18に変形)

次にa-2b=3p+2q-2q+4p/7=7p/7=pとし、

10.5/22＜(a-2b)/a+b＜17.5/18⇔21/44＜A＜35/36という回答が出ました。しかし模範解答は1/2＜A<35/38になっています。見直してもどこが間違っているのかわかりません。この過程でどこが間違っているのでしょうか？？教えてください。よろしくお願いします。

aquarius_hiro · Accepted Answer

ANo.3,ANo.5です。

> このすっぽり含んでいて余分な領域を含んでいるということがやっと理解できたのですが、この長方形の意味はどういうものなのですか？

長方形というのは、最初の条件をそのまま書き直した
1.5 ≦ p ＜ 2.5
5.5 ≦ q ＜ 6.5
…(3)
のことでしたよね。この長方形の中のどの点(p,q)も、(p,q)から(a,b)を求めたときに、最初の条件、
「2つの数a-2b、2a+3bを小数第一位で四捨五入すれば、それぞれ2、6となる」
を満たすということです。

そのまま書き直しただけなので、当然、そうなりますよね。

一方、
> 10.5≦7p＜17.5
> 18≦p+3q＜22
…(4)
のほうは、これに含まれていても、最初の「2つの数・・・」の条件を満たさないことがあるわけです。例えば、7p=10.5と、p+3q=21.6は、(p,q)=(1.5,6.7)となり、最初の条件の外に出てしまいます。（ANo.1に書かれていることと同様です。）

それを図形で言うと、「余分な領域も含んでいる」ということになります。（「余分な領域」の中の点(p,q)は、(1)の外、つまり最初の条件を満たしていない。）

> p、qに関する式の場合この長方形から出てはいけないということですか？

そのとおりです。

長方形(3)式は、問題の最初の「2つの数・・・」の条件をそっくりそのまま過不足なく書き直しただけなので、これの中ならＯＫ、外に出たらダメという領域です。（これを「(3)式は必要十分条件である」と言います。）

ちなみに、どうして、(4)式が余分な領域を含んでしまっているかというと、二つの不等式(3)の辺々を足してしまっているからです。

5.5≦q＜6.5 ⇒ 16.5≦3q＜19.5 は正の数3を全部にかけただけなので、右から左、左から右どちらも導けるわけで、余分な領域は含まれない変形なのですが、これを 1.5≦p＜2.5 に辺々加え、

1.5 + 16.5 ≦ p + 3q ＜ 2.5 + 19.5 …(5)

としてしまうと、これにはすでに余分な領域（元の不等式を満たさない点の領域）が含まれてしまっています。不等号の入った式の辺々を足すときには注意が必要なのです。

具体的には、(5)式と1.5≦p＜2.5を組み合わせても、16.5≦3q＜19.5を導出することができません。辺々差し引いたら出てきそうですが、不等式の場合は辺々の差し引きはできないのです。例えば、7<10と1<8は両方とも確かに成立っていますが、機械的に辺々差し引いて7-1<10-8としたら間違ってしまっていますね。（6<2になってしまうから。）

つまり、(3)式を満たすものは必ず(4)式を満たし、その意味では(4)式は「正しい」のですが、(4)式を満たすからといって、必ず(3)式を満たすとは限りません。その意味では(4)式は「正しくない（ことがある）」といえます。このことを数学や論理学では「(4)式は(3)式の必要条件であるが、十分条件ではない。」と言います。平たく言うと「(3)を満たすものは、(4)を『必ず』満たすが、(3)を導くのには『十分』ではない。」ということです。一概に(4)は間違いと言っているわけではないのです。

ところで、いま気付きましたが、ANo.3で私が
> 不等式の上限下限を差し引きして求めることにより、必要条件として

と書いたのは、「不等式の上限下限を足して求めることにより、必要条件として」の書き間違いでした。すみません。

ANo.5について…

> 5.5/2.5＜q/p＜6.5/1.5についてなのですがp、qはそのまま足したり引いたりすることはだめでもかけたり割ったりすることはできるのですか？？

私がANo.5でやったことは、不等式の辺々を機械的にかけたり割ったりしたわけではなくて、元の条件をそっくり反映した長方形の中の点について、q/pを最大最小にするのはどこかを考えたということです。

例えばq/pの上限について説明します。q/pが大きくなるためには、qができるだけ大きく、pができるだけ小さい方が良いわけですが、今幸運にも、長方形の中にこの二つの要求を両立させる点が存在しています。それは、qが6.5ギリギリのところ、pがジャスト1.5の点です。これらの値を使うと q/p=6.5/1.5となります。ただしq=6.5は含まれていないので、q/p＜6.5/1.5が正しい式になります。

q/pの下限についても同様で、今度はqができるだけ小さく、pができるだけ大きい点を、長方形の中で両立させつつ選ぶことができます。それは(p,q)=(2.5,5.5)です。q/p=5.5/2.5が最小値ですが、p=2.5は元の長方形(3)の端で、本当は含まれていないので、5.5/2.5の値まではとることができません。それで、5.5/2.5＜q/p が得られます。

これはやはり図形的なことを考えて行うのが安全で、等号の方程式の場合のように、機械的に不等式の辺々をかけたりすると、間違えてしまうおそれがあります。もしそれをするときには、導かれる領域を満たす点がすべて元の領域に含まれるかどうか注意しながら計算しないといけません。

つまり、一般的に、二つの不等式の辺々をかけたときにどうなるかですが、正の数だけを考えている場合、x<y, z<w なら、xz<yw は必要条件として導かれます。しかし、xz<ywかつ、z<w から x<y を導くことはできません。辺々割り算ができないからです。実際、14<16と2<8は確かに成立っていますが、辺々割り算して、14/2<16/8とすると、7<2ということになってしまい、とんでもなく間違ってしまっています。もう一つ例を挙げると、1<x,2<y ⇒ 2<xy とすると、右側の条件には(x,y)=(0.5,4)が含まれますが、左側の条件にはその点は含まれませんね。

要するに正の数の範囲で、x<y,z<wからxz<ywを導くのは、「必要条件として」という前提付きで正しいのですが、やはり余分な領域が含まれることになるので注意が必要です。

ただし今の場合は、q/pの値が欲しいだけなので、例えば、1.5≦p と q＜6.5の辺々をかけて、1.5q＜6.5p、つまりq/p＜6.5/1.5としても、実は結果的には問題ないのです。

確かに、q/p＜6.5/1.5という条件は、(p,q)の条件としては、1.5≦pとq＜6.5を満たさない点、例えば、(0.5,19.0)を含んでしまっていて必要条件にしかすぎなくなっています。（19.0/0.5<6.5/1.5 を満たしますが、1.5≦0.5と19.0＜6.5は満たされませんね。）

ところが、このことは問題の答えには影響しません。q/p＜6.5/1.5を導いたとき、6.5/1.5ギリギリの値を与える(p,q)=(1.5,6.5)直近の点が元の条件式1.5≦p, q＜6.5に含まれていて、q/p=6.5/1.5にギリギリ近い値が実現し得るからです。5.5/2.5＜q/pについても同様です。これらのq/pの値だけでAの最大値最小値が求まるのですから、実現されることさえ抑えていれば問題ないというわけです。

文章がだいぶ長くなりましたが、やっていること自体は簡単なので、読んでいただければ内容はご理解いただけると思います。要するに不等式の場合は機械的に辺々四則演算するのではなく、余分な領域が含まれないかに注意しながら扱わないといけないということですね。またご質問のような類の問題については、やはり図形を書いて、Aを最大最小にする点をその図形の中で探すという考え方が最もわかり易くかつ安全だと思います。

ご参考のため付け加えますと、ANo.3, ANo.5, ANo.6 の計算は、計算としてはすべて実質的に同じことをやっていて、Aを最大最小にするような、(p,q)の値を代入する仕方が違うだけです。ANo.5ではAを(p/q)の関数の形に変形してから代入するとANo.3よりも手間が省けると書いていて、ANo.6は図形的説明をしていないだけで計算は実質的にANo.5と同じです。ANo.3が長くなってしまっているのは、ご質問文の方法とANo.1のお礼に書かれたことの、どこがどうして間違っているのかを図形的に説明しようとしたためと、正しい求め方を詳しく説明したためで、計算は同じです。また、ANo.4は、ANo.2の方法を途中まで計算して見せたわけですが、(a,b)の代入の仕方が違うだけで実質的には全く同じことです。

長くなってしまいすみません。

take_5 · Answer

＞ただこの方法をその場で思いつくのは僕にはちょっと難しいですね(^^;)
それなら、もっと簡単にいきましょう。

.5≦a-2b＜2.5、5.5≦2a+3b＜6.5から、これをab平面上に図示してみる。aとbの値の範囲はすぐ出るでしょう

次に、k＝(a-2b)/(a+b)とすると、これは（k+2）b＝（1-k）aと変形できますから、k+2≠0である事を確認した上で、b＝（1-k/k+2）aとすると、これは原点（0、0）を通る直線です。
一方、平行四辺形の4つの頂点のうちＡ（5/2、1/2）、Ｂ（37/14、1/14）であるから、直線ＯＡの傾き＜（1-k/k+2）＜直線ＯＢの傾き、すなわち、1/37＜（1-k/k+2）＜1／5であればよいことになります。
後は、その不等式を解くだけです。

syouji_08 · Answer

7p/(p+3q) = 7/(1+3(q/p))とし、
5.5≦ q < 6.5より、
5.5/p ≦ (q/p) < 6.5/p－－(1)
1.5 ≦ p < 2.5より、
5.5/2.5 = 11/5 < 5.5/p ≦ q/p < 6.5/p ≦ 6.5/1.5 = 3/13－－(2)
11/5 < p/q < 13/3となるので、
7/(1+3(13/3)) = 1/2  < 7/(1+3(q/p)) < 7/(1+3(11/5))= 35/38
∴ 1/2 < 7p/(p+3q) < 35/38

aquarius_hiro · Answer

ANo.3です。

もし、できるだけ簡単に解いてみせるのが目的であれば、

ANo.3と同様に、1.5≦p＜2.5、5.5≦q＜6.5 … (1) 
A = (a-2b)/(a+b) = 7p/(p+3q) = 7/[1+3(q/p)] … (2) 
で、(2)に、(1)の長方形の頂点の座標
(p,q) = (2.5,6,5), (2.5,5.5), (1.5,6.5), (1.5,5.5)
を代入するとき、5.5/2.5＜q/p＜6.5/1.5 が明らかなので、
1/2 ＜ A ＜ 35/38 
があっというまに求まります。

といっても簡単な計算が少し減るだけですが。

take_5 · Answer

もっと簡単に解ける。

1.5≦a-2b＜2.5、6.0≦2a+3b＜6.5から、これをab平面上に図示してみる。aとbの値の範囲はすぐ出るでしょう。
次に、b/a＝kとしてab平面上からkの値の範囲を定める。
そして、a＞0、b＞0、b＝akをA=(a-2b)/(a+b)に代入すると、Ａ＝（1-2k）/（1+k）＝-2＋（3）／（k+1）となるから、後はk+1が最大の時Ａは最小、k+1が最小の時Ａは最大となる。


実際の計算は、自分でやってください。

aquarius_hiro · Answer

こんにちは。

ANo.1にあるとおりでして、pqでやっても、

> 10.5≦7p＜17.5
> 18≦p+3q＜22

はやはり、不等式の上限下限を差し引きして求めることにより、必要条件として導いているので、その過程で元の領域よりも余分な領域を含んでしまっています。

その結果やはり、7p=10.5 と p+3q=22 が同時に起きる点は、元の領域には含まれないので、これらの値を代入して、7p/(p+3q)の下限を求めると間違ってしまいます。

上限についても同様です。

ちょっと具体的にやってみますね。

一番最初の条件は、

1.5 ≦ p ＜ 2.5
5.5 ≦ q ＜ 6.5

なので、まず、これを pq平面に図示してみてください。

境界線の交点の座標は、
(p,q) = (2.5,6,5), (2.5,5.5), (1.5,6.5), (1.5,5.5) … (1)
になります。

これらの点を頂点とする長方形になり、各辺はp軸かq軸に平行です。

一方、ANo.1のお礼に書かれた

> 10.5≦7p＜17.5
> 18≦p+3q＜22

この領域は、pq平面で、(-p+18)/3 ≦ q ＜ (-p+22)/3 という、傾き-1/3の二つの直線で挟まれた領域になりますから、上の長方形をすっぽり含んではいますが、余分な領域も含んでいることがわかるでしょう。

ということは、やはり元の領域（(1)の4点を頂点とする長方形の領域）に戻って考えないといけないことがわかると思います。

さて、いま 7p/(p+3q) = A の範囲を求めたいので、この方程式を書いてみると、

q = [(7-A)/3A] p ということになります。… (2)

この方程式は A を変化させたときに、いろいろな傾きを取りますが、いつも直線です。

この直線(2)が、上の長方形の(p,q)の範囲にかかるような A で最大のもの、最小のものを知りたいわけですが、(2)はいつも直線なので、Aの最大や最小が起きるのは、(1)の4つの頂点のどれかを通るときと考えられます。

その考察に基いて、(1)の値をAの式に代入してみます。

(p,q) = (2.5,6,5) では、
A = 7×2.5/(2.5+3×6.5) = 35/(5+39) = 35/44

(p,q) = (2.5,5.5) では
A = 7×2.5/(2.5+3×5.5) = 35/(5+33) = 35/38

(p,q) = (1.5,6.5) では
A = 7×1.5/(1.5+3×6.5) = 21/(3+39) = 21/42 = 1/2

(p,q) = (1.5,5.5) では
A = 7×1.5/(1.5+3×5.5) = 21/(3+33) = 21/36 = 7/12

1/2 < 7/12 < 35/44 < 35/38 と、最初の条件より、p=2.5, q=6.5 はその値にいくらでも近い値はとれるけど、その値自体は含まれないことに注意すると、A の範囲としては、

1/2 ＜ A ＜ 35/38

が求まります。

ANo.2さんのご回答のように、ab平面で同様のことをしても同じ結果になります。
（pq平面のほうが交点の座標を求めるところで楽そうですが。）

pyon1956 · Answer

こういう問題は「線形計画法」を用いるのが常道でしょう。
高校の教科書だと、数学IIのところ、座標関係の最後のあたりに出ているのが普通です。
座標平面（aとbを変数とする）上に
1.5≦a-2b<2.5と5.5≦2a+3b<6.5をみたすひし形の領域を描きます。
次にa+b=kという直線を考え、kの値を変化させて平行移動させます。
論理的に考えれば、
この直線と先のひし形領域の共有点がある範囲を考えてやればよい。
Aについてはa+bが最小でa-2bが最大であればよいのですが、いずれにせよひし形の頂点をa+b=kが通るときに最大や最小になるはずです。
ただし、もとの不等式の条件からひし形の頂点のうち三つは領域に含まれないので、そこが求める点の時は<を用いる必要があります。

rabbit_cat · Answer

18/7≦a+b＜22/7
1.5≦a-2b＜2.5
ていう２つの式は、確かに、各々としては正しいんですけど、
例えば、
・a+bが一番小さくなること（a+b=18/7）と、
・a-2bが一番大きくなること（a-2bが2.5よりわずかに小さい値になること）
は同時には起こりません。
したがって、
(a-2b)/(a+b) が 2.5/(18/7)=35/36 ぎりぎりの値をとることはありません。

正しくは、(a-2b)/(a+b)を全て、p,qで表して、その上で取りえる範囲を考える必要があります。
1.5≦p＜2.5、5.5≦q＜6.5 のときに
(a-2b)/(a+b) = 7p/(p+3q)
が取りえる範囲を直接考えなければいけません。

取り得る値の範囲で模範解答と異なります

ANo.3,ANo.5です。

＞ただこの方法をその場で思いつくのは僕にはちょっと難しいですね(^^;)

7p/(p+3q) = 7/(1+3(q/p))とし、

ANo.3です。

もっと簡単に解ける。

こんにちは。

こういう問題は「線形計画法」を用いるのが常道でしょう。

18/7≦a+b＜22/7

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