連立２階微分方程式

２階微分方程式の連立が解けません…(つд⊂;)
できれば解き方のヒントをいただけると助かります。


yとzがxの関数で，k>0のとき
(d^2y/dx^2)+k^2*z(x)=0
(d^2z/dx^2)+k^2*y(x)=0

No.2 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/23 06:08

こんにちは。

zを消去しましょうか。

(d^2y/dx^2)+k^2*z(x)=0 より、

z=-y''/k^2 なので、

(d^2z/dx^2)+k^2*y(x)=0

に代入して、

d^2(-y''/k^2)/dx^2 + k^2 y = 0

d^4y/dx^4 = k^4y

となります。

この後はいろいろな解き方がありますが、

y=e^{ax} を代入してみると、

a^4 = k^4 が示せますので、

0 = (a^4-k^4) = (a^2-k^2)(a^2+k^2) = (a-k)(a+k)(a-ik)(a+ik)

です。iは虚数単位です。

k>0 より、四つの一次独立な解、

y(x) = e^{kx}, e^{-kx}, e^{ikx}, e^{-ikx}

が得られます。

一般解は、これらの一次結合で、

y(x) = C_1 e^{kx} + C_2 e^{-kx} + C_3 e^{ikx} + C_4 e^{-ikx}

となります。C_1～C_4 は任意定数です。

z(x) = -y''/k^2

に代入すれば、z(x)が求まります。

この回答へのお礼

とてもわかりやすく教えていただきありがとうございました。
１階のときと同様に置きかえれるところを探せばよかったんですね。２階っていう時点でちょっと苦手意識を持ってたのでわかってよかったです。

お礼日時：2007/08/23 17:15

No.1 回答者： sacana 回答日時： 2007/08/23 04:14

上の式をｘで2回積分して、ｙ＝～　の形にして、

それを下の式に入れると、ｚだけの微分方程式にる。

・・・ではだめでしょうか？
すみません、あまり専門ではないので・・・

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2007/08/23 17:14