点P(0,2a-1)から曲線C1:y=a-ax^2に引いた2本の接線の各接点を
A,Bとし、曲線C1に点A,Bで接する円をC2とする。
ただし、a>1とし、Aのx座標はBのx座標より小さいものとする。
(1)点A,Bの座標を求めよ。
(2)円C2の中心をEとする。点Eの座標と円C2の半径を求めよ。
(3)a=3/2のとき、扇形AEBにおける弧ABと曲線C1とで囲まれる部分の面積を求めよ。
(1)はA(ー√{a-1/a},0) B(√{a-1/a},0)とでました。
(2)はAとBの中点がEだと思ったのですが違うみたいです。
お助けお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)のA,Bのy座標は1じゃないですか?
x=√{(a-1)/a}をy=a-ax^2に入れれば
y=a-(a-1)=1
(2)A,Bがy軸について対称なので、Eはy軸上に
あるから、その点を(0,k)とおく。
APはC2の接線でもあるから、直角三角形APE
で三平方の定理から、
PA^2+AE^2=PE^2でkが求められます。
PA^2=(a-1)/a+4(a-1)^2
AE^2=(a-1)/a+(k-1)^2
PE^2=(2a-1-k)^2=(2a-1)^2-2(2a-1)k+k^2
整理すると、4(a-1)k=4(a-1)-2(a-1)/a
∴k=1-{1/(2a)}
AE^2に入れて計算すると、半径も1-{1/(2a)}でした。
(3)Bは(√3/3,1)、Eは(0,2/3)になるので、例えばBEが
斜辺となるような直角三角形を考えれば、辺の比から
この扇形の中心角は120度になることがわかります。
あとは積分と引き算です。
No.3
- 回答日時:
(1)
f(x)=a-a(x^2),,,f'(x)=-2ax,,,接点のx座標を、tとして、
f'(t)=-2at,,,接線は、y-{a-a(t^2)}=-2at(x-t),,,
(0,(2a-1))を代入して,
(2a-1)-{a-a(t^2)}=2a(t^2),,,
0=a(t^2)-(a-1)
t=-√{(a-1)/a},√{(a-1)/a}
,,,f(±√{(a-1)/a})=a-a{(a-1)/a}=1
A(-√{(a-1)/a},1),,,B(√{(a-1)/a},1)
ーーー
(2)
点Aの法線は、
傾きが、<-2a{(-√{(a-1)/a} → -√{a/(a-1)}/2a>
y-1={ -√{a/(a-1)}/2a }*{ x+√{(a-1)/a} }
対称性より円の中心はy軸上にあるので、x=0 を代入、
y= {-1/(2a)}+1
中心は( 0, (2a-1)/(2a) )
半径をrとして、
(r^2)={(a-1)/a}+{1/(4(a^2))}
={4a(a-1)/4(a^2)}+{1/(4(a^2))}
={4(a^2)-4a+1}/(4(a^2))
={(2a-1)^2}/(4(a^2))
半径は、r=(2a-1)/(2a)
<半径と中心のy座標が等しいので、円はx軸に接している。>
↑問題とは無関係のようです。
ーーー
(3) a=(3/2)のとき、
中心は( 0, 2/3 ),,,半径は, 2/3
A(-√(1/3),1),,,B(√(1/3),1)
< ∠AEBは、60度か90度か120度と予想して、 >
ABの中点を、Mとして、
∠MEBを求める。
ME=1-(2/3)=(1/3)
MB=√(1/3)
∠MEB=60度,,,∠AEB=120度
(半月状の面積)=π((2/3)^2)(1/3)-ME*MB={(4π/27)-(1/3√3)}
S=2(3/2)∫[0,1/√3]{1-(x^2)}dx-{1*2*(1/√3)} -{半月}
=3[x-(1/3)(x^3)][0,1/√3]-(2/√3) -{半月}
=√3-(1/3√3)-(2/√3) -(4π/27)+(1/3√3)
=(-4π/27)+√3-(2/√3)
=(-4π/27)+(1/√3)
No.2
- 回答日時:
#1さんの解答と重複する分の詳細は省略して
(1)正解は A(-√{(a-1)/a},1) B(√{(a-1)/a},1)
(2)正解は E(0,1-{1/(2a)}),半径r=1-{1/(2a)}
(3)S=(C1とy=1で囲まれた面積S1)-(C2内部でy=1より上の部分の面積S2)
S1=∫[-1/√3,1/√3] {(3/2)(1-x^2)-1}dx=2/(3√3)
S2=(円C2の面積)*(1/3)-△EAB
=(π/3)(2/3)^2-(1/3)(1/√3)=(4π/27)-{1/(3√3)}
S={2/(3√3)}-[(4π/27)-{1/(3√3)}]
={1/(3√3)}-(4π/27)
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