統計力学

エルゴード仮説と等重率の原理はどのような関係にあるのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/29 01:09

> 時間の概念が入るのがエルゴード仮説で入らないのが等重率の仮定

> というふうに理解しても宜しいのでしょうか？

標語的(?)にはそうです．
でも．等重率の話も時間が全く入っていないわけではありません．
振動子の集団を持ってきたら，時間がないと振動しないのだから
それなりに時間は入っています．

ミクロカノニカル統計集合の話では，
マクロ変数(エネルギーＥ，体積Ｖ，粒子数Ｎ)で指定される系を沢山持ってきます．
マクロ変数が同じでも，ミクロな状態はいろいろ違うわけで，
それらの平均をとろうというわけです．

一つの孤立系で，長時間見ていればミクロな状態をいろいろ移り変わって
ゆくだろう，というのがエルゴード仮説の方ですね．
そういう意味の「時間」です．

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2001/01/27 00:33

等重率の原理は統計集合がミクロカノニカル集合のときに使われる概念で

「エネルギーがＥ～Ｅ＋ΔＥである状態はすべて等しい実現確率をもっている」
という原理です．
こういう視点では，等重率の原理は仮定です．

これを力学的に基礎づけようとするのがエルゴード理論です．
古典力学で言えば，Ｅ～Ｅ＋ΔＥの状態は
位相空間でハミルトニアンＨの値がＨ＝Ｅである面と
Ｈ＝Ｅ＋ΔＥである面で挟まれた部分に対応します．
ここにはたくさんの状態があるわけですが，
その状態の集合が等しい確率密度をもつことが
等重率に対応します．
エルゴード性というのは，(多少荒い表現ですが)，
時間の経過に従って状態が変化するとき
挟まれた部分を万遍なく訪れる，ということです．

こういうストーリーで等重率とエルゴード仮説が結びついているのです．

ボルツマンはミクロカノニカル分布のことをエルゴード分布と呼んで
いたとのことです．

なお，ミクロカノニカル集合は，エネルギーＥ，粒子数Ｎ，体積Ｖ
が指定された統計集合，
カノニカルなら，温度Ｔ，粒子数Ｎ，体積Ｖ，が指定され
グランドカノニカルなら，温度Ｔ，化学ポテンシャルμ，体積Ｖが指定されます．
他にもいろいろ統計集合があります．

この回答へのお礼

丁寧なご回答有り難うございます。すなわち、時間の概念が入るのがエルゴード仮説で入らないのが等重率の仮定というふうに理解しても宜しいのでしょうか？
いずれにしましても有り難うございました。

お礼日時：2001/01/28 02:50