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高2なのですが、軌跡の問題の解答の仕方について2つ質問があります。

(1)
チャートで勉強してますが、最後に、「逆」についての記述が入ってますよね。
「その図形上の点が条件を満たしていることを確かめる。」
とありますが、なぜそれをする必要があるのかイマイチわかりません。

(2)
記述の仕方について質問なのですが、チャートでは例えば、
「逆に、円(1)上の任意の点は上の計算を逆にたどることによって条件を満たすことがわかる。」
としていますが、学校の先生は、
「逆も成り立つので、」
と書くだけで良いと言われました。

もし国立二次や模試で軌跡の問題が出たとき、先生の言うように、
「逆も成り立つので」
だけで済ませて、減点とかされませんか?

よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

(1)


>>なぜ(逆)を確かめる必要があるのか。

 一般に、(式変形)は(同値変形)ではありません。
 一般には、(式変形)は(必要条件)に変形されます。

 (同値変形)の例は、
A  (x/3)-2=(x/6)
    2x-12=x
      x=12

 (同値変形ではない例は)
BB        x=1
       X^2=1 (x=1,-1)
      x^4=1 (x=1,-1,i,-i)

BBB   x+2=√(x+4)
   (x^2)+4x+4=x+4
   x(x+3)=0
   x=0(解)、x=-3(無縁解)

    ここまでは理解されているはずです。

    (軌跡)でも、同じです。

 (同値変形)の例は、

AA 定点Aと動点Pの中点Mの軌跡。

 (同値変形ではない例は)
BBBB
x=(1-(t^2))/(1+(t^2))
y=(2t)/(1+(t^2))
(x^2)+(y^2)
= (((1-(t^2))/(1+(t^2)))^2)+(((2t)/( 1+(t^2) ))^2)
=((1+2(t^2)+(t^4)))/((1+(t^2))^2)=1
(x^2)+(y^2)=1
ここで軌跡の限界である(-1,0)除く事になる。
x=-1 に対応する、t は存在しない。

両辺を二乗すると、同値が崩れる。
しかし必ずしもそうとは言い切れない。
二乗するする前の両辺が非負ならば、同値は崩れない。

BBBBは二乗が原因ではなく、smartに t を消去
している事に原因があると思う。
記憶が曖昧ではあるが、地道に消去すると、どこかで
割り算が発生した気がする。

割り算による、軌跡の限界の例は、
BBBBB
x+Ky+K=0, Kx-y+3=0,の交点の軌跡を求める問題で、
Kを消去する時に、文字で割る必要が生じその時、
限界が判明して、(0,-1)を除いたように思う。

C
同値が崩れているように見えて、(逆)が成立する例は、
2点からの距離の和が一定となる点の軌跡。
つまり、楕円の軌跡。
教科書では、
(逆の証明は省略)とか(逆の証明に言及さへしていない)、
場合もあるようです。

と書いたが、書きすぎだった。
現行では、楕円は数学C・・・。

(2)

>>「逆に・・・条件を満たすことがわかる。」
>>「逆も成り立つので。」

同じ事だから「逆も成り立つので。」の方が簡明と思う。

しかしながら、そんな事よりは、
入学試験で、
「逆も成り立つので。」 で済まされる出題はないと思う。

出題の意図を読み取らねばならないし、
問題文の文脈にも依存するするので、
一概には何も言えないが、

A,AAの時は、(逆)について言及する必要がないと思う。
BBB,BBBB,BBBBBの時は、無縁解や軌跡の限界を、
明示するので、これもまた言及する必要がないと思う。

俄かには思いだせないが、
確かに、(逆)を明示的に証明しないと、大減点される問題は、
存在する。

「逆も成り立つので。」ですまされる出題は、
余りにも、自明な場合。
A,AAよりはやや複雑な場合。

「逆も成り立つので。」が通用するのは、
出題者が、
自明ではあるが、(逆)に言及して欲しいと思っていて、
解答者が、
”私は(逆)が成立する事を知っていますが、詳細に述べる必要はないと思います。” と書く替わりに、
「逆も成り立つ」 と 書くのだと思います。
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質問の意味がとりにくいことと、私自身が現在のチャートを持ってないので。

。。。笑


>(1)‥‥‥「その図形上の点が条件を満たしていることを確かめる。」とありますが、なぜそれをする必要があるのかイマイチわかりません。

求めた軌跡が、その軌跡上のすべての点とは限らない場合があります。
つまり、軌跡には除外部分(=軌跡の限界)がある場合が多いですから、それがあるかないかを確認する必要があります。


(2)
>「逆に、円(1)上の任意の点は上の計算を逆にたどることによって条件を満たすことがわかる。」
>「逆も成り立つので、」

表現が異なるだけで、答えている内容は同じでしょう。
軌跡の限界に触れなかったりすれば、当然減点の対象でしょうね。
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