開写像って、どんな写像ですか。

解決済

質問者：D733
質問日時：2007/09/09 23:09
回答数：1件

開写像は、開集合を開集合へ写しますが、どんな写像といえるのでしょうか。

連続写像は「近くにあるものたちを近くに写す写像」ですよね。写像が全単射であれば、逆写像が連続写像であることと同値であるので、「遠くにあるものたちを遠くに写す写像」といえるような気がします。
位相の強弱を考えても、domainの開集合が多ければ、「近いものたち」が少なくなり連続写像になりやすく、domainの開集合が少なければ、「遠いものたち」が少なくなり開写像になりやすいため、直観にも合っていると思います。（恒等写像で、domainにtrivial topology、codomainにdiscrete topologyを入れる例など）
（全単射だと開写像であることと閉写像であることは同値になるので、普通に考えると、これは閉写像のイメージかもしれません。）

しかしながら、全単射でなければ、例えばRから円周への写像f(x)=exp(2πix)は開写像なので、上記のような解釈はできません。いったい、開写像とは、どういう写像なのでしょうか。

ご回答よろしくお願いします。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： ddtddtddt
回答日時：2007/09/11 13:12

　f(x)=exp(2πix)のような、連続開写像で考えます。

f：Ｘ→Ｙとして、同値関係、

　　Ｒ：f(x)＝f(y)

を考えれば、商空間Ｘ／Ｒをつくれます。fが連続なので、Ｘ／Ｒの商位相はもとの位相と両立します。つまりＡ⊂f(Ｘ)が開なら、Ｇ：Ｘ／Ｒ→f(Ｘ)をＧ(c(x))＝f(x)として、Ｇinv(Ａ)はＸのＲに関する充満開集合でＸ／Ｒでも開です。ここで、c(x)はＲに関するxの同値類，Ｇinv(Ａ)はＡの逆像です。
　従ってＧの定義により、Ｇは連続な全単射で開写像です。問題は、Ｘ／Ｒをどういう意味に読むかですが、それはケースバイケースになると思えます。

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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

開写像は、それ自体では「これこれこういう写像」という特徴をもたず、全単射性や連続性といっしょになって真価を発揮する写像ということなのでしょうか。（同相への最後の砦？）

> 従ってＧの定義により、Ｇは連続な全単射で開写像です。
この場合は、写像fをもとに商集合を作り、商位相を入れたため、もとのfで「離れていたものたちが近くに来てしまう」状況が回避されている、とも解釈できるのでしょうか。

まだ、もやもや感は消えませんが、なんとか概念に慣れるよう勉強していきたいと思います。
ありがとうございました。

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お礼日時：2007/09/16 11:12

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商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
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Aベストアンサー

＞写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
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・・・これは定義じゃないですな．
そもそも「商空間」ですらない．
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物．
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう．
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう．

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
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(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
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このとき，同値類の集合{[x] | x∈X}を
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このとき，写像g;Y -> Zを考える．
Zの開集合Oに対して，gf:X->Zに対して
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(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
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以上かな．
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ですから一様連続でないことがいえました。　　　　　　　　　　■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
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（３）一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
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距離空間はご存知でしょうね。

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x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
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Ｘが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のＡの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈ＸがＡの集積点であるとは
「xのどんな近くにも（x以外の）Ａの点がある」
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ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈ＸがＡの孤立点であるとは
xがＡの要素であり　　…(S1)
かつxのある近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなＡの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈ＡであることはxがＡの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがＡの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Ａの点でないような
Ａの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Ａの要素に対して与えられる概念ですから、Ａに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをＡの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間（ユークリッド空間）での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例（１）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりＡは原点中心半径１の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとＡの集積点（の集合）は
{(x,y)∈Ｘ| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径１の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例（２）Ｘを２次元ユークリッド空間として
Ａ={(x,y)∈Ｘ| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Ａの集積点（の集合）はＡ自身と集合
Ｂ={(0,y)∈Ｘ| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例（３）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａ= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はＡの集積点です。しかしＡ自身の点はすべて孤立点です。

例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
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Q基本近傍系

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以下の２点をお願いします。

○１点目
「開基」のイメージとして，｛距離空間における開球｝
なるものを考えて納得しておるつもりですが，
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○２点目
新刊の教科書
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の書評をおねがいします。

以上，なにとぞ、よろしくお願いいたします。

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イメージとなるとなかなか難しいと思うのですが、まあそれゆえ正しい答えがひと通りなわけでもなくて面白いとも思いますが、僕の理解では、開基が開集合全体から余分なものを取り除いていったものという感じですかね。基本的に開基というのは位相を作るために考えるものだから、開集合のパーツであるとも言えるのかも知れません。

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(漠然とした質問で申し訳ありません）
_______________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
　陰関数の定理：
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_____________＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

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これは次のように表現を変えてみましょう

f(x)=0はそもそも数直線上でのことで、２次元ではないのに、
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f'(a)は２次元的に...続きを読む

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＞現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること？と理解しています。

それは正しいのですが，もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか？
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが，
それは決して
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という意味ではありません．
これは初心者がよくおかす勘違いです．

例：
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(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
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自分で具体例を構築する訓練をしてください．
非数学科の方が応用が主眼なので，より複雑なものが
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Qユークリッド平面と連続開写像

「fをユークリッド平面R2から実数直線R1への写像としてつぎのように定める。R2∋X=<x1,x2>に対して、f(x)＝x1
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以下のような流れで証明できて合っていますでしょうか？
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-------------------------------------------------------
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写像を動かす際には部分集合を使うと良いです

ざっくりいきます

まず部分集合について

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の三つを教えていただけると幸いです。わからない場合は、どれか一つでも構いません。
また、こういった文字がまとめてあるサイトなども一緒に紹介していただけると大変助かります。
お手数ですが、分かる方どうぞ回答よろしくお願いします。お待ちしています。