凸集合での命題を証明したいのですが…

Question

実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。

という命題を証明したいのですが滞ってます。

凸集合の定義は
「集合Ｓについて任意の２つのベクトル x,y∈Ｓ と正の実数ｓ (0≦s≦1) について， 
sx＋(1-s)y∈Ｓ
が成立するとき，Ｓは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」

(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?

tinantum · Accepted Answer

すみません，Aの定義に 
-π/2 ≦ x ≦ π/2 
を入れ忘れました．つまり，

A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}

放物線みたいなのが一つあるだけです．

tinantum · Answer

もう一つ・・

A+B = {(x,y)∈R^2 | -π/2 < x < π/2}
です・・

tinantum · Answer

こんにちは

hhozumiさんの閉集合の定義は閉区間の定義であって，閉集合はもっと大きな集合系に関するものですね．
閉集合に関してはkoko uさんのNo4をご参照ください．
以下では
>(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
>C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C
を用いることにします．

(1) n=2の反例を作ってみます：

A = {(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}
B = {(x,y)∈R^2 | x=0, y ≦ 0}
は両者とも閉凸集合ですが，A+Bはちょっと考えると
A+B = {(x,y)∈R^2 | -1 < x < 1}
となって，これは閉集合ではないですね．

(2) R^nの場合，コンパクト集合は点列コンパクト性と等価になります．つまり，
『V⊆R^nがコンパクト集合である』⇔『Vの任意の点列 x_n ∈ Vは，Vの中で収束する部分列 x_{n_k}→ x ∈Vを持つ』
というものです．これを利用して（２）を以下のように証明できます：

[証明]

AをR^nのコンパクトな閉凸集合，BをR^nの閉凸集合とする．
A+Bが閉集合であることを示すには，A+Bの任意の収束列 z_n がA+Bの中に収束することを示せばよい．
（つまり，任意の z_n ∈ A+B → z ∈R^n に対し， z ∈ A+Bであることを示す．）

A+Bの任意の収束列をz_n ∈ A+B とし，収束先をz ∈ R^nとするとき，z_n ∈ A+Bより，x_n ∈ A, y_n ∈ Bが存在して，
z_n = x_n + y_n とかける．
Aはコンパクト集合であるため，（点列コンパクト性より）A内に収束する部分列 x_{n_k}が存在する：
x_{n_k}→x ∈ Aとする．
また，z_nが収束列であるため，z_{n_k}も収束列であり，zに収束する．よって，
y_{n_k} = z_{n_k} - x_{n_k} → z - x
となり，y_{n_k}も z-xへ収束することがわかる．
ここで，y_{n_k}∈Bであり，Bは閉集合であることを考慮すると，z-x∈Bとなる．
x∈A, z-x∈ Bより，z = x + (z-x) ∈ A+B
であることを得る．

Q.E.D

ちょっと急いでつくってみたので，わかりずらいかもしれません．また聞いてくださいね．
（特に（１）の反例はもっと簡単につくれるかもしれません）

koko_u_ · Answer

>言葉で"全て境界点もそれ自身に含まれる集合"と
>表現せざる得ないのでしょうか?
「境界」の定義が難しいので却下。

とりあえず、hhozumi さんが位相空間の基礎すらあやふやだということがわかりました。

無駄と知りつつもアドバイスすると、R^n のような距離空間の場合、おおよそ 2つの流儀があります。

(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C 

(2)開集合に基づく定義(こっちは位相空間の一般論)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ R^n＼C ⊆ R^n が開集合
U ⊆ R^n が開集合 ⇔ すべての u ∈ U に対して、ある ε > 0 が存在して、|u - v| < ε ならば v ∈ U とできる