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実数体Rに於いて,A,B⊂R^n を凸集合とする時、
(1) もし、AとBが閉集合ならA+B:={x+y;x∈A,y∈B}は閉集合とは限らない。
(2) もし、AがコンパクトでBが閉集合ならA+Bは閉集合。

という命題を証明したいのですが滞ってます。

凸集合の定義は
「集合Sについて任意の2つのベクトル x,y∈S と正の実数s (0≦s≦1) について,
sx+(1-s)y∈S
が成立するとき,Sは凸集合であるという」
閉集合の定義は
「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」
コンパクトの定義は
「集合YをX(⊂R^n)の開被覆とする時、Yの有限個の開集合でXを覆える。」

(1)の反例はどのようなものが挙げれるでしょうか?
そして、(2)はどのようにして示せますでしょうか?

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A 回答 (7件)

すみません,Aの定義に


-π/2 ≦ x ≦ π/2
を入れ忘れました.つまり,

A= {(x,y)∈R^2 |-π/2 ≦ x ≦ π/2, y ≧ |tan(x)|}

放物線みたいなのが一つあるだけです.
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もう一つ・・



A+B = {(x,y)∈R^2 | -π/2 < x < π/2}
です・・
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この回答へのお礼

遅くなってしまいました。
お陰様で納得できました。
どうも有り難うございました。

お礼日時:2008/02/08 11:01

こんにちは



hhozumiさんの閉集合の定義は閉区間の定義であって,閉集合はもっと大きな集合系に関するものですね.
閉集合に関してはkoko uさんのNo4をご参照ください.
以下では
>(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
>C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C
を用いることにします.

(1) n=2の反例を作ってみます:

A = {(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}
B = {(x,y)∈R^2 | x=0, y ≦ 0}
は両者とも閉凸集合ですが,A+Bはちょっと考えると
A+B = {(x,y)∈R^2 | -1 < x < 1}
となって,これは閉集合ではないですね.

(2) R^nの場合,コンパクト集合は点列コンパクト性と等価になります.つまり,
『V⊆R^nがコンパクト集合である』⇔『Vの任意の点列 x_n ∈ Vは,Vの中で収束する部分列 x_{n_k}→ x ∈Vを持つ』
というものです.これを利用して(2)を以下のように証明できます:

[証明]

AをR^nのコンパクトな閉凸集合,BをR^nの閉凸集合とする.
A+Bが閉集合であることを示すには,A+Bの任意の収束列 z_n がA+Bの中に収束することを示せばよい.
(つまり,任意の z_n ∈ A+B → z ∈R^n に対し, z ∈ A+Bであることを示す.)

A+Bの任意の収束列をz_n ∈ A+B とし,収束先をz ∈ R^nとするとき,z_n ∈ A+Bより,x_n ∈ A, y_n ∈ Bが存在して,
z_n = x_n + y_n とかける.
Aはコンパクト集合であるため,(点列コンパクト性より)A内に収束する部分列 x_{n_k}が存在する:
x_{n_k}→x ∈ Aとする.
また,z_nが収束列であるため,z_{n_k}も収束列であり,zに収束する.よって,
y_{n_k} = z_{n_k} - x_{n_k} → z - x
となり,y_{n_k}も z-xへ収束することがわかる.
ここで,y_{n_k}∈Bであり,Bは閉集合であることを考慮すると,z-x∈Bとなる.
x∈A, z-x∈ Bより,z = x + (z-x) ∈ A+B
であることを得る.

Q.E.D

ちょっと急いでつくってみたので,わかりずらいかもしれません.また聞いてくださいね.
(特に(1)の反例はもっと簡単につくれるかもしれません)
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この回答へのお礼

大変有難うございます。

> (1) n=2の反例を作ってみます:
>
> A = {(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}
> B = {(x,y)∈R^2 | x=0, y ≦ 0}
> は両者とも閉凸集合ですが,

{(x,y)∈R^2 | y ≧ |tan(x)|}は放物線っぽいのがx軸上にずらっと並んだような領域を表しますね。
その場合、(0,0),(π,0)を結ぶ線分は領域Aには含まれませんよね。
、、、と言う事でAは非凸集合だと思うのですが?

お礼日時:2007/09/16 23:53

>言葉で"全て境界点もそれ自身に含まれる集合"と


>表現せざる得ないのでしょうか?
「境界」の定義が難しいので却下。

とりあえず、hhozumi さんが位相空間の基礎すらあやふやだということがわかりました。

無駄と知りつつもアドバイスすると、R^n のような距離空間の場合、おおよそ 2つの流儀があります。

(1)極限に基づく定義(こっちが境界も含むのニュアンスに近い)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ C の点列 {c_i} (c_i ∈ C) が a ∈ R^n に収束するなら、a ∈ C

(2)開集合に基づく定義(こっちは位相空間の一般論)
C ⊆ R^n が閉集合 ⇔ R^n\C ⊆ R^n が開集合
U ⊆ R^n が開集合 ⇔ すべての u ∈ U に対して、ある ε > 0 が存在して、|u - v| < ε ならば v ∈ U とできる
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>違いますかね。


違いますな。

例えば n = 2 の平面で考えてみると、hhozumi さんの言う閉集合とは
{[a, b]×[c, d] | a, b, c, d ∈ R } つまり「四角形」ばかりですね。
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この回答へのお礼

> {[a, b]×[c, d] | a, b, c, d ∈ R } つまり「四角形」ばかりですね。

そうですね。
そうしますと、R^nのどのような元が閉集合だと定義されるのでしょうか?
言葉で"全て境界点もそれ自身に含まれる集合"と表現せざる得ないのでしょうか?
数式で表現できないのでしょうか?

お礼日時:2007/09/16 12:44

>閉集合の定義は言い換えれば


>"境界の点をそれ自身に含む集合"の事ですよね。

それが

>閉集合の定義は
>「{Π[1..n][ai,bi];ai,bi∈R(i=1,2,…,n)}の元を閉集合という」

の言い換えですか?本当に?
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この回答へのお礼

> の言い換えですか?本当に?
は、はい。

違いますかね。正しくはどのように定義されるのでしょうか?

お礼日時:2007/09/16 06:29

閉集合の定義がおかしいですが、多少は考えましたか?


hhozumi さんの考察内容を補足欄にどうぞ。
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この回答へのお礼

閉集合の定義は言い換えれば
"境界の点をそれ自身に含む集合"の事ですよね。

勘違いしてますでしょうか?

お礼日時:2007/09/16 05:21

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Q凸集合

次の問題を教えて下さい。基本的ですいません。
よろしくお願いします。

----------------------------------
以下の集合が凸集合であることを示せ
A={ x^2+y^2≦r^2 }∈R^2 (rは定数)
B={ x^2+y^2≦z } ∈R^3
----------------------------------

Aベストアンサー

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)-(ad+be)^2=(ae-bd)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+td}^2+{(1-t)b+te}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ad+be)+t^2(d^2+e^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(d^2+e^2)}+t^2(d^2+e^2)
≦c(1-t)^2+2(1-t)t√(cf)+ft^2
=(1-t)c+tf-t(1-t)(√c-√f)^2
≦(1-t)c+tf
=z

(1)
0≦r∈R
A={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦r^2}
{(a,b),(c,d)}⊂A
0≦t≦1
(x,y)=(1-t)(a,b)+t(c,d)
とすると
a^2+b^2≦r^2
c^2+d^2≦r^2
(a^2+b^2)(c^2+d^2)-(ac+bd)^2=(ad-bc)^2≧0

x^2+y^2
={(1-t)a+tc}^2+{(1-t)b+td}^2
=(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t(ac+bd)+t^2(c^2+d^2)
≦(1-t)^2(a^2+b^2)+2(1-t)t√{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}+t^2(c^2+d^2)
={(1-t)√(a^2+b^2)+t√(c^2+d^2)}^2
≦r^2

(2)
B={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2≦z}
(a,b,c)∈R^3
(d,e,f)∈R^3
0≦t≦1
(x,y,z)=(1-t)(a,b,c)+t(d,e,f)
とすると
a^2+b^2≦c
d^2+e^2≦f
(a^2+b^2)(d^2+e^2)...続きを読む

Q凸集合の定義ってなんですか?

2題よろしくお願いします。
1.平面上の集合kが凸集合である定義を述べよ。
2.xy平面上の凸集合、凸でない集合をそれぞれ例示せよ。
この2題です。さっぱり分かりません。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

つまりy=xのような直線は凸集合
n角形で一つの辺が内側にはいりこんでいれば凸集合ではない。
ん?まてよ…
さらに盛った目玉焼きを上からだけみると凸集合だ。(へこみがない場合です)
しかし、横からみると凸集合ではない。
つまり、目玉焼きは3次元的にみると凸集合ではない。
どうも線形計画法の問題みたいですね。


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