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逆格子の定義については講義で習って理解したのですが、
逆格子ベクトルHhkl=hb1+kb2+lb3が結晶系に関係なく(hkl)面に垂直というのがどうしてそうなるのか理解できません。お願いします。

A 回答 (2件)

>逆格子ベクトルb1は実格子ベクトルa2、a3に垂直で、ほかの逆格子ベクトルについても同様な関係になり、任意の(hkl)について成立するということでいいんですか?



少し違う気がします。私が示したかった証明は
Hhkl・AB(ベクトル)=0
よりHhklとAB(ベクトル)が垂直
Hhkl・BC(ベクトル)=0
よりHhklとBC(ベクトル)が垂直
よってHhklと(hkl)面(ABC)は垂直
ってことです。b1とa2,a3の関係だけを見ているのではなく
Hhkl=hb1+kb2+lb3

AB=a2/kーa1/h
の関係を見ています。
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前の質問に対しても出したヒントですが、


(hkl)上の点A,B,C(位置ベクトルはそれぞれa/h,b/k,c/k *a,b,cは実格子ベクトル)とすると、
例えば、AB(ベクトル)は
AB(ベクトル)=b/kーa/h (a.bはベクトル)
となります。
逆格子の定義がわかっているなら、Hhkl・AB(ベクトル)(内積です)の値も求めれるはずです。これで、AB(ベクトル)と逆格子ベクトルの成す角度θがわかります。同様にBC(ベクトル)と逆格子ベクトルの成す角度も求めれるはずです。後は自分で考えてみて、どうしても分からなければまた質問してください。

この回答への補足

b1=a2×a3/V b2=a3×a1/V b3=a1×a2/V V=a1・a2×a3
この式の関係より、逆格子ベクトルb1は実格子ベクトルa2、a3に垂直で、ほかの逆格子ベクトルについても同様な関係になり、任意の(hkl)について成立するということでいいんですか?

補足日時:2007/09/18 23:30
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Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Qミラー指数:面間隔dを求める式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)

となる。

なぜこうなるのか証明せよといわれたのですが
どうやってすればよいでしょうか?
2次元で考えると簡単だと聞いたのですが…。

Aベストアンサー

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか?ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線(直線1とします)は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直線でn=0の場合の直線は原点を通り、直線1と平行な直線になります。2つの直線の距離は原点と直線1との距離で求められます。

平面上に原点O、点A(a/h,0)、点B(0,a/k)の3点を書いてみましょう。原点と直線ABとの距離dは原点から直線ABに下ろした垂線の足を点Hとして、OHで求められます。

三角形OABは直角三角形なので、
OA・OB=AB・OH
より、
d=OH=OA・OB/AB=(a/h・a/k)/√((a/h)^2+(a/k)^2)=a/√(h^2+k^2)
となります。

これでよいでしょうか?

書いていて気づいたのですが、これが課題やレポートのテーマであった場合、回答するのは規約違反になるんですね。

高校の知識しか使ってないと思いますが、、、基本並進ベクトルや逆格子ベクトルがまずかったですか?ミラー指数の定義を知っていれば当然知っていると思ったのですが。三平方の定理では中学生の知識ですよね。まあ良いです。一般的な証明にはならなくなりますが、平面で三平方の定理のみを使って証明してみます。

平面の場合、(hkl)面は(na/h,0)、(0,na/k)を通る直線に対応すると思います。n=0の場合とn=1の場合の直線間の距離を求めてみます。

n=1の場合の直線(直線1とします)は(a/h,0)と(0,a/k)を通る直...続きを読む

Qダイヤモンドの構造因子

ダイヤモンドの構造因子を求めると
f{1+exp(-πi(h+k))+exp(-πi(k+l))+exp(-πi(l+h))+exp((-πi/2)(h+k+l))+exp((-πi/2)(3h+3k+l))+exp((-πi/2)(3h+k+3l))+exp((-πi/2)(h+3k+3l))}
となったのですが、この構造因子が0になる指数がうまく求められません。どのように考えればよいでしょうか。

Aベストアンサー

面心立方の原子位置は

(0,0,0) (1/2,1/2,0) (1/2,0,1/2) (0, 1/2, 1/2)

これをベクトルでri (i=1-4)と書くことにします.

ダイアモンド格子はこの座標に(1/4,1/4,1/4)を加えた位置に同種原子を置くことで構成されます.そこで(1/4,1/4,1/4)をベクトルdと書くことにすると,追加した原子の位置ベクトルはd+ri (i=1-4).したがって,逆格子ベクトルをGとして構造因子は

S = f Σ[i=1-4] { e^{-2πi G・ri} + e^{-2πi G・(d+ri)}
= f (1 + e^{-2πi G・d} ) (Σ[i=1-4] e^{-2πi G・ri})
= (1 + e^{-2πi・(h+k+l)/4}) S(FCC)

従って消滅則はFCCの消滅則に加えて前の()が0になる条件として

2π(h+k+l)/4 = (2n+1)π 従って h+k+l = 4n+2

が追加になります.

Q実格子と逆格子の関係

たいていの固体物理学の文献では、結晶の実格子と逆格子には一対一の関係があると書かれています。

概念だけは理解できるのですが、実際に実格子中のある点が、逆格子においてどの点へと対応付けられるのかが分かりません。

たとえば、単純立方格子中の任意の立方体(一辺の長さがa)の8つの頂点が逆格子のどの点へ移されるのか、という問いがあったとしてその考え方について教えてください。
第一ブリルアンゾーンの点でもかまいません。

Aベストアンサー

>実際に実格子中のある点が、逆格子においてどの点へと対応付けられるのかが分かりません。

結晶の格子点が一対一で逆格子の点に対応付けられるわけではありません。

逆格子点と対応するのは格子面で、逆格子ベクトルはその格子面の法線ベクトルであり、逆格子ベクトルの長さは格子面間隔の逆数(またはその2π倍)です。

Q面間隔の意味がわかりません

面間隔の意味がわかりません
立方格子の結晶面(hkl)の面間隔=a/√(h^2+k^2+l^2)(式(1))だと習いました.
この式の説明として「面間隔は原点から面までの距離」ということが出てきました.
僕は面間隔の説明として「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」だと思っていました.

ここで思ったことがあります.
結晶面(020)の面間隔を求めるとします.

この数値式(1)に代入するとd=a/2となります.
これが正しいなら「面間隔は原点から面までの距離」と言う説明があっているような気がします.

しかし,(020)は最もかんたんな整数比に直すと(010)となり,面間隔d=aとなります.
これが正しいなら「ある面の面間隔は,その隣りの立方格子の同じ位置にある結晶面までの距離」が合っている気がします.

どちらが面間隔の説明として正しいのですか?

Aベストアンサー

結晶模型を組んで横から見てください。
1つの面上に格子点が並んでいる面がいくつか見えます。
こういう面があるということがまず出発点です。

>面間隔は原点から面までの距離

原点は数学的な原点ではありません。格子点の1つです。
立方格子の1つの格子点を原点にとっているのです。
この原点を通る面も同じようにあるのです。
「原点から面までの距離」というのは
「原点を通る面とその隣の面までの距離」と言っていることと同じです。

立方格子の結晶模型といっても立方格子を作る6つの格子点だけでできた模型を考えている場合が多いです。体心立方格子ならその中にもうひとつ格子点を入れます。
これでは面を考えるのには不足です。
10個ぐらい立方体が繋がっている模型を作って考えてみてください。

Q逆格子について

3次元の逆格子の基本並進ベクトルは、結晶格子の基本並進ベクトルを用いて表されます。

格子定数aの一次元結晶の逆格子は、面間隔2π/aを持つ平面になることを示してください。

平面になるとはどういうことですか?
また、問題の解説もお願いします。

.

Aベストアンサー

3次元の格子からの回折がラウエ関数になることはご存じですよね。

ラウエ関数~sin^2 (N qa/2) / sin^2 (qa/2)

Nは並んでいる格子点の数で回折線の幅は分子のsinが0になるところまででとると

N qa/2 = π  ∴ q = 2π/Na

であり、Nが大きいほど鋭いピークに、Nが小さいほど広がったピークになります。
三方向全てでNが十分に大きければ点になるので、これを逆格子点といっています。

一次元結晶と言うことは、

○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

と原子が並んでいるので、Nが十分に大きければこの方向には鋭いピークになります。
しかしそれとは垂直な方向は、N→0の極限を取ったものになっていますので、
ピーク巾が発散、つまり、無限に広がることになり、この場合は原子の並びに垂直な全ての方向に広がるのでシートになります。

同様に、二次元結晶の場合は原子が並んでいる平面に垂直な棒になります。

QBragg反射

今、X線を照射して、各角度におけるピークを見つけて、Bragg角を見つける実験をしています。しかし、少し疑問に思う箇所があるので質問させて頂きたい次第です。

KClとKBrのBragg角を見つけているのですが、どちらも同じ結晶構造です。しかし、Bragg Peakにおいて、同じ結晶構造を持つKBrに見られる反射が、なぜKClでは見られないのでしょうか??自分的には同じ結晶構造だからほぼ同じBragg Peakが見られると思っていたのですが…

どなたかこの理由や原理を教えていただけないでしょうか?お願いします。

Aベストアンサー

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

X線がどのように結晶中で散乱されるかといいますと、トムソン散乱と呼ばれる、各原子の電子の電場との相互作用によって散乱されます。そしてその強度は原子のもつ電子の数にほぼ比例します。

K^+イオンとCl^-イオンは電子数がどちらもArと同じ数なので、原子散乱因子f_Kとf_Clはほぼ同じになります。ですので、KClでは強度がf_K+f_Clになるピークのみが観測され、|f_K-f_Cl|に対応するピークはほとんど見えません。

一方KBrでは、Br^-イオンの電子数はKrと同じでK^+イオンとは差があるので、原子散乱因子にも差があります。なので|f_K-f_Br|の強度のピークも観測できます。ですが、KBrの場合でもほぼ一つおきに強いピークと弱いピークが現れていると思います。(たしか)

以上のことは結晶構造因子というのを計算すると(単位格子の原子の並び方さえわかっていれば計算できます)、どの(hkl)指数のピークがどの程度の強度で観測されるかわかるので、ほぼすべて説明できます。

No.1です。KClとKBrは同じNaCl結晶なので、格子定数の違いを除けば同じ(hkl)指数のピークが観測されるはずですね。

ですが、K^+イオンでの原子散乱因子(原子ごとのX線の散乱強度で、X線の波長や散乱角に依存しますが、とりあえず一つの原子では一定とします。)をf_K、Cl^-イオンの原子散乱因子をf_Clとしますと、Brag Peakにはその強度がf_K+f_Clに対応するピークと|f_K-f_Cl|に対応するピークとがあります。つまりK^+での散乱X線とCl^-での散乱X線とが強めあう場合と弱めあう場合があるということです。

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Q格子点数と原子数

結晶について学んでおります。
まず、格子点数と原子数の違いが分かりません。

それで、diamondの単位格子の格子点数、原子数を求めようとしたときに、はたと困りました。
まず、diamondのブラベー格子がFである、そのことから、理解ができませんでした。
diamondは、fccを1/4,1/4,1/4ずらしたものの組み合わせだということは知っています。そこからdiamondのブラベー格子がFであるとなるのでしょうか。

ごめんなさい。。書いてて混乱してきました。。意味がとれない部分もあると思いますが、教えてください。

Aベストアンサー

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を結んでできる、対面が平行な六面体のことを単位胞または単位格子といいます。
単位胞は繰り返しのユニットとなります。先ほど格子はフレームを含まないと言いましたが、
それはこの結び方(単位胞の決め方)が自由であるということです。星座みたいなものだと思って下さい。
べつに菱餅のような形に結んでもいいんですが、ふつうはもっとわかりやすい(対称性の高い)立方体
などの形になるように結びます。

「単純立方格子の単位胞(立方体)にはいくつの格子点が含まれるか」という問題には
1と答えます。なぜ8ではないかというと、立方体の頂点に全て格子点があると考えると、
繰り返し並べた時に別々の立方体から来た8個の格子点が一カ所にかぶってしまうからです。
ですからそれぞれの立方体について8つの頂点のうちたとえば左下手前のものだけをその立方体に
所属する格子点と考えれば1になるわけです。そこを原点O(0,0,0)にとります。

単純立方格子をとる結晶構造のうちもっともシンプルなのは単純立方構造(simple cubic; sc)です。
これは単位胞の頂点の位置だけに一種類の原子を置いた構造で、ポロニウムのα相がこの構造です。
「格子」と「構造」はどう違うのかと思われるかもしれませんね。実際には同一視されている解説が
ほとんどですが、格子はまだ原子(やイオン)を置く前の、単なる位置の基準点の集合です。
単位胞の中に原子を置いて初めて構造になります。これが「結晶格子×単位構造=結晶構造」の意味です。
scの場合は「単純立方構造の単位胞にはいくつの原子が含まれるか」の答も1となります。

他には塩化セシウム型構造が単純立方格子です。これはセシウムイオン(Cs+)を単純立方格子の
原点(0,0,0)に置いたとき、塩化物イオン(Cl-)が立方体の中央(1/2,1/2,1/2)にくる構造です。
Cs+(0,0,0)とCl-(1/2,1/2,1/2)のペアが単位構造であり、それが各単位胞の中にあるということです。
別の見方をすればCs+だけでできた単純立方構造とCl-だけでできた単純立方構造を(1/2,1/2,1/2)だけ
ずらして重ねたと考えることもできます。しかし、あくまでも塩化セシウム構造としての単位胞は
どちらか片方だけですから、単位胞内の格子点数は1のままで原子数は2となります。

やっとダイアモンド構造に近づいてきました。ダイアモンド格子は面心立方格子(cF)をとります。
単純立方格子と比べると立方体の中にあらかじめ
 O(0,0,0)、A(0,1/2,1/2)、B(1/2,0,1/2)、C(1/2,1/2,0)
の4か所に格子点があります。他の点、たとえば(1/2,1/2,1)の格子点はひとつとなりの立方体
に所属するものと考えます。あらかじめ格子点が4つあるというのはどういう事かと言うと、
うまく単位胞を選ぶと立方体の1/4の体積のものが作れて、その中の格子点数は1になります。
このような単位胞は基本単位胞といい、たとえばOA、OB、OCを三辺とする菱形六面体がそのひとつ
です。しかしそれでは形が分かりにくいのでふつうは体積4倍の立方体の単位胞を考える代わりに
格子点数が4になっているのです。

面心立方構造(fcc)は面心立方格子の格子点にだけ原子を置いたもので、単位胞内の
格子点数は4、原子数も4です。一方、ダイヤモンド構造は炭素原子を
O(0,0,0)、O'(1/4,1/4,1/4)
A(0,1/2,1/2)、A'(1/4,3/4,3/4)
B(1/2,0,1/2)、B'(3/4,1/4,3/4)
C(1/2,1/2,0)、C'(3/4,3/4,1/4)
の8カ所に置いた構造です。これは原点に付随する(0,0,0)(1/4,1/4,1/4)の2つの炭素原子を
単位構造として、A、B、Cの3格子点にもコピーしたものと考えることができます。fccを
(1/4,1/4,1/4)だけ平行移動して重ねたものと捉えても構いませんが、ダイヤモンド構造として
の単位胞はあくまでも(0,0,0)を原点とするものだけですから、格子点数4、原子数8となります。

以上長くなってしまいましたがわからなければまたおっしゃって下さい。

まず結晶格子とは、空間の三方向に等間隔で並んだ点の集まりのことです。
そしてどんな複雑な結晶構造でも、「結晶格子×単位構造」からできています。
このことを少しずつ説明してみたいと思います。

単純立方格子(primitive cubic; cP)は一番わかりやすいと思いますが、ジャングルジムのように
立方体をたくさん詰め込んだような形をしています。ただし、格子とはあくまでも立方体の頂点の
部分だけの集合なので、フレームの部分は含みません。この頂点一つ一つのことを格子点と言います。
8個の格子点を...続きを読む


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