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昔話か何かであったものだと思うのですが、
一日目1円
二日目2円
三日目4円
四日目8円
五日目16円
六日目32円・・・
と毎日2倍の金額をもらい続けると、1ヶ月(30日)でいくらになるので
しょうか。
地道に計算して答えはでるとおもいますが、
数列の一般項を教えてほしいです。

よろしくお願いします。

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A 回答 (7件)

昔話で・・というのは一休さんあたりの話でしょう。



で、お金ではなく米粒の話です。
将棋盤の桝目の分だけお米をもらうというもので、
一桝目には1つぶ、二桝目には2つぶ、
三桝目には4つぶ、四桝目には8つぶ、・・・・ともらうという話です。
2の80乗とかどれだけの量になるでしょう・・

また、別のパターンで累乗計算が効く昔話としては、
バラモンの塔の話があります。
「ハノイの塔」という名前でしられているゲームなのですが、
ある寺院に黄金の円盤が64枚あり、
その寺院の修行僧がこれを一枚ずつ移動しているというお話で、
1つの柱に刺さった64枚の円盤を別の柱に移動し終わったとき、
世界が崩壊するというものです。

こちらは計算をしてみると、
一枚動かすのに1秒とすると、
1枚を動かすのに1秒、
2枚を動かすのに三手かかるので、3秒
3枚を動かすのに7手かかるので、7秒
n枚動かすのに2^n-1・・
ですから、64枚だとほぼ、2^64
十進数にするとだいたい10^18・・
てな時間なので、1年、3*10^7秒ぐらいですので・・
3*10^10年・・300億年・・
ということで、地球ができて60億年ぐらいということで、
当分安泰ですね・・(え?)
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一休さんの話です。

実際に貰うのは、米粒です。

要するに、前の日に貰った米粒の倍の数の米粒を貰うわけです。n日目に貰う米の数をa_nとすれば、
 a_(n+1)=2a_n
が成り立ちます。これは、初項a_1=1,公比b=2の等比数列の漸化式です。第n項a_nは、
 a_n=a_1×b^(n-1)=1×2^(n-1)=2^(n-1).
第n項までの和S_nは、
 S_n=a_1(b^n-1)/(b-1)=1×(2^n-1)/(2-1)=2^n-1 
となります。したがって、30日までに貰う米粒の合計数は、
 S_30=2^30-1=1073741823 (粒)
です。重さに換算すれば、米一粒の重さを17mgとし、
 1073741823×17÷1000÷1000÷1000≒18.25[t]
の米の量になります。

参考URL:http://www.kumamotokokufu-h.ed.jp/kokufu/math/ma …
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2のべき乗計算ですね、


参考URLの29回目が答えになりますね(2^29=5,3687,0912)、

あと「SoftCalc」などのべき乗計算(2^xなど)ができるソフトを使う事も。

http://www.vector.co.jp/soft/win95/personal/se21 …

参考URL:http://www.ffortune.net/kazu/kazu/bin.htm
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洋の東西を問わず,この種の話は昔からあります.


最初は大したことないと思っているうちにどんどん増えだして...
というパターンです.
曾呂利新左衛門が太閤秀吉を降参させた話を子供の頃に
読んだような気がします.

1日目  1円  ⇒  2^0 円
2日目  2円  ⇒  2^1 円
3日目  4円  ⇒  2^2 円
4日目  8円  ⇒  2^3 円
・・・・・・・・・・・・
n日目         2^(n-1) 円

ですから,n日目までの合計は
(1)  1+2+4+・・・+2^(n-1) 円
になります.
この級数は等比級数で,和が
(2)  1+2+4+・・・+2^(n-1) = 2^n - 1
であることが知られています.
30日目だと,(2)式にn=30 を代入して 1,073,741,823 円,
ざっと10億円ということですね.
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こんばんわ^^



   初項1 公比2 の 等差数列で良いんじゃないかなぁ~!?

だから、一般項は、2^n-1 (二のエヌ引く一乗) でいいんじゃないかなぁ~

  だから、これを、和の公式にあてはめて、、、

      (2^30)-1
     ―――――――――― これを計算すると出ると思いますよ^^
        2-1

  すみません、かなり自信ないです、この前も間違ってたし、、、、、、
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一般項は,a_n=2^(n-1) ですから,合計は,



30
Σ 2^(n-1)
n=1

ですよね。あとは公式を使えば…。
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地道に計算して、n日目にもらえるお金とn日目までにもらえるお金の合計金額を比較してください。


法則があります。
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この回答へのお礼

はい、ありがとうございました。
計算してみます。

お礼日時:2002/08/15 18:39

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