「ブロック機能」のリニューアルについて

基本的な質問ですが、タイトルのような次数が少数の場合で、
計算機を使わないで計算する場合、どのように計算すればよかった
でしょうか?

すみませんが、ご教授願います。

教えて!goo グレード

A 回答 (6件)

>計算機を使わないで計算する場合



ということは、エクセルも電卓も使ってはダメなんですよね。

タイトルの計算に特化していいなら、#1さんの言うとおり5乗根なので次のようにしてみましょうか。

10を適当な数の4乗で割る。仮に「適当な数」を2とします。すると10÷2^4=0.625
この数と先程の「適当な数」で1:4の重み付き平均を計算します。
(0.625+2×4)/5=1.726
この数を新たな「適当な数」として以上の計算を繰り返します。
 2回目 1.60587782541947
 3回目 1.5854345014244
 4回目 1.58489356196912
 5回目 1.58489319246129
 6回目 1.58489319246111
 7回目 1.58489319246111
で変化しなくなりました。(私はエクセルを使いました m(_ _)m 
でも手計算できないことはないです)

0.2ではない一般の小数にしたいなら参考URLなどを見てください。そこでは電卓を使っていますが、手計算でも不可能ではないです。でも大変ですよ。

参考URL:http://okwave.jp/qa2910140.html
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:43

ニュートン・ラプソン法です。


x=1 とおく
x-(x^5-10)/5x^4 を求める
その答を x として前行を再計算(xが収束したらやめる)
(計算機よりも、表計算ソフトを使うほうが簡単)
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:41

普通、そのような場合には手計算はしません。




計算をせずに、1%程度の誤差で求める方法があります。
片対数(両対数でも良いですが)のグラフ用紙を準備します。
こちらのサイトの上から2番目の図がよろしいかと。
http://physics.e-one.uec.ac.jp/report/graf/semi- …

10^0.2 という数は、対数目盛において、
1(=10^0)と10(=10^1)を、1:4(=2:8)に内分した場所にあります。
ですから、グラフ用紙の1から10までを、普通の定規で1:4に分けます。
すると、分けた場所は、対数目盛では1.5と1.6の間、
もう少し細かく見れば、1.55と1.6の中間ぐらいになります。
ですから、10^0.2 は 1.57~1.58ぐらいです。


ちなみに、掛け算や割り算ができる計算尺は、対数目盛の応用例の一つです。
下記の図では、外側から3番目の目盛が対数目盛になっています。
http://www.concise.co.jp/img/rule/generalruler/e …
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:42

筆算でa^bを計算する方法を考えて見ましょう。

(かなり手間ですが)
手順としては

(1)log[e]a を求める。(=αとしておきます)

(2)α×b を計算する。(=βとしておきます)

(3)e^β を計算する。これが求める値です。

(1)についてですが、0 < a < 2 ならテイラー展開で求めることが
できます。これから外れるときも

A=(x-1)/(x+1) と変換したAを用いると

α=log[e]a=2{A+(A^3)/3+(A^5)/5+(A^7)/7・・・・}

で求めることができますが、aが1から大きくずれていると
収束が非常に遅いのであらかじめ開平法で√√√・・・・aを求めたほうが
いいでしょう。3回開平したら後で2^3をかけましょう。

(2)はただの掛け算ですので省略して
(3)の計算も代表的なテイラー展開の計算ですので結局、

a^b = 1 + β + β^2/2! + β^3/3! + β^4/4! ・・・・・・

となります。質問の式で実践してみましょう。

10^0.2 = (√√√10)^1.6

√√√10=1.33352143216332・・・・・

筆算だと非常に手間がかかりますが、開平法3回で一応、求まるはずです。
次にこれを変換します。

A=(1.33352143216332-1)/(1.33352143216332+1)=0.142926234816763

0.142926234816763
0.142926234816763^3/3=0.00097322802040708
0.142926234816763^5/5=0.0000119286078280564
0.142926234816763^7/7=1.74054650302584E-07

これぐらいで全部足して2倍すると

log[e](√√√10)=1/8*log[e](10)=α/8=0.287823130999297
α=0.287823130999297*8=2.30258509298103

0.2倍して

β=0.460517009598875

これをe^xのテイラー展開に当てはめて

1+
0.460517009598875+
0.460517009598875^2/2+
0.460517009598875^3/3!+
0.460517009598875^4/4!+
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

気の済む当たりまで筆算してもらえば

1.58489319246111

が得られます。でも、筆算は大変です。
せめて√が使える電卓ぐらいは用意したほうがいいですよ。

ついでに開平法のやり方のURLも入れておきます。

参考URL:http://yosshy.sansu.org/sqr.htm
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:42

これは「数値計算」の問題のような気がしますが・・


問題を一般化して、m、n が整数のとき、A^( m/n ) を四則演算(+-×÷)だけで計算する方法を紹介します。10^0.2 というのは、A = 10、m=1、n = 5 の場合になります。

A^( m/n ) は、関数 f(x) = x^n - A^m = 0 の解です。数値計算では、f(x) = 0 の解 x を求める漸化式として
   x[n+1] = x[n] - f( x[n] )/f'( x[n] )
が使われます(ニュートン・ラプソン法) 。この場合 f(x) = x^n - A^m、f'(x) =n*x^(n-1) ですから
   x[n+1] = x[n] - ( x[n]^n - A^m )/{ n*x[n]^(n-1) }
        = ( 1 - 1/n )*x[n] + ( A^m )/{ n*x[n]^(n-1) }
が、A^( m/n ) を求める漸化式となります。初期値を x[0] = A として、この式を使って x[1]、x[2]、・・・ と次々に求めていって、x[ ] が動かなくなったところが解になります。この式は A 、m、n がマイナスでも使えますが、 A^(m/m) が数学的に無意味なとき( A = -1、m = 1、n = 2 など)は計算してもオーバフローするか収束しません。

A = 10、m=1、n = 5 の場合
   x[n+1] = 4/5*x[n] + 2/( x[n]*x[n]*x[n]*x[n] ) --- (1)
が 10^0.2 を計算する式になります。これを15桁精度で計算してみると
x[0] = 10
x[1] = 8.00020000000000
x[2] = 6.40064823242493
x[3] = 5.12171019598693
x[4] = 4.10027465454472
x[5] = 3.28729556684556
x[6] = 2.64696320430731
x[7] = 2.15831219143923
x[8] = 1.81881622015378
x[9] = 1.63781027109793
x[10] = 1.58820394873794
x[11] = 1.58490696686523
x[12] = 1.58489319270054
x[13] = 1.58489319246111
x[14] = 1.58489319246111
となって、x[14] で値が動かなくなります。10^0.2 の正確な値は
   10^0.2 = 1.584893192461113485202101373391507013269442133825039068316296812316656863668453980110202723846111044
ですから、x[14] が15桁精度の解になっていることが分かります。
x[n]*x[n]*x[n]*x[n] を筆算で計算するのは大変ですが、メモリと+-×÷だけしかない電卓なら計算できます。

m = 1、n = 2 なら、√A の計算式になります。その場合の漸化式は
   x[n+1] = ( x[n] + A/x[n] )/2
となります。√キーがついている昔の電卓はこの式で√を計算していたらしいです(そのため表示されるのにちょっと時間がかかっていた)。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:43

10の(1/5)乗、つまり10の5乗根です。

5乗して10になるように電卓で計算してください。大変ですけど。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/09/30 08:41

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