10^0.2 = 1.58489319246111の計算方法

基本的な質問ですが、タイトルのような次数が少数の場合で、
計算機を使わないで計算する場合、どのように計算すればよかった
でしょうか？

すみませんが、ご教授願います。

No.3 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2007/09/23 13:11

＞計算機を使わないで計算する場合

ということは、エクセルも電卓も使ってはダメなんですよね。

タイトルの計算に特化していいなら、＃１さんの言うとおり５乗根なので次のようにしてみましょうか。

１０を適当な数の４乗で割る。仮に「適当な数」を２とします。すると１０÷２^4＝０．６２５
この数と先程の「適当な数」で１：４の重み付き平均を計算します。
（０．６２５＋２×４）／５＝１．７２６
この数を新たな「適当な数」として以上の計算を繰り返します。
　2回目　1.60587782541947
　3回目　1.5854345014244
　4回目　1.58489356196912
　5回目　1.58489319246129
　6回目　1.58489319246111
　7回目　1.58489319246111
で変化しなくなりました。（私はエクセルを使いました　m(_ _)m　
でも手計算できないことはないです）

０．２ではない一般の小数にしたいなら参考ＵＲＬなどを見てください。そこでは電卓を使っていますが、手計算でも不可能ではないです。でも大変ですよ。

参考URL：http://okwave.jp/qa2910140.html

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:43

No.6 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/09/24 10:58

ニュートン・ラプソン法です。

x=1 とおく
x-(x^5-10)/5x^4 を求める
その答を x として前行を再計算（xが収束したらやめる）
（計算機よりも、表計算ソフトを使うほうが簡単）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:41

No.5 回答者： sanori 回答日時： 2007/09/23 16:24

普通、そのような場合には手計算はしません。

計算をせずに、１％程度の誤差で求める方法があります。
片対数（両対数でも良いですが）のグラフ用紙を準備します。
こちらのサイトの上から２番目の図がよろしいかと。
http://physics.e-one.uec.ac.jp/report/graf/semi- …

１０^0.2　という数は、対数目盛において、
１（＝１０^0）と１０（＝１０^1）を、１：４（＝２：８）に内分した場所にあります。
ですから、グラフ用紙の１から１０までを、普通の定規で１：４に分けます。
すると、分けた場所は、対数目盛では１．５と１．６の間、
もう少し細かく見れば、１．５５と１．６の中間ぐらいになります。
ですから、１０^0.2 は １．５７～１．５８ぐらいです。


ちなみに、掛け算や割り算ができる計算尺は、対数目盛の応用例の一つです。
下記の図では、外側から３番目の目盛が対数目盛になっています。
http://www.concise.co.jp/img/rule/generalruler/e …

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:42

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2007/09/23 14:58

筆算でa^bを計算する方法を考えて見ましょう。

（かなり手間ですが）
手順としては

(1)log[e]a　を求める。（=αとしておきます）

(2)α×b　を計算する。（=βとしておきます）

(3)e^β　を計算する。これが求める値です。

(1)についてですが、0 < a < 2　ならテイラー展開で求めることが
できます。これから外れるときも

A=(x-1)/(x+1)　と変換したAを用いると

α=log[e]a=2{A+(A^3)/3+(A^5)/5+(A^7)/7・・・・｝

で求めることができますが、aが1から大きくずれていると
収束が非常に遅いのであらかじめ開平法で√√√・・・・aを求めたほうが
いいでしょう。3回開平したら後で2^3をかけましょう。

（2）はただの掛け算ですので省略して
（3）の計算も代表的なテイラー展開の計算ですので結局、

a^b　=　1 + β + β^2/2! + β^3/3! + β^4/4! ・・・・・・

となります。質問の式で実践してみましょう。

10^0.2 = (√√√10）^1.6

√√√10=1.33352143216332・・・・・

筆算だと非常に手間がかかりますが、開平法3回で一応、求まるはずです。
次にこれを変換します。

A=（1.33352143216332-1)/(1.33352143216332+1)=0.142926234816763

0.142926234816763
0.142926234816763^3/3=0.00097322802040708
0.142926234816763^5/5=0.0000119286078280564
0.142926234816763^7/7=1.74054650302584E-07

これぐらいで全部足して2倍すると

log[e](√√√10）=1/8*log[e](10)=α/8=0.287823130999297
α=0.287823130999297*8=2.30258509298103

0.2倍して

β=0.460517009598875

これをe^xのテイラー展開に当てはめて

1+
0.460517009598875+
0.460517009598875^2/2+
0.460517009598875^3/3!+
0.460517009598875^4/4!+
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

気の済む当たりまで筆算してもらえば

1.58489319246111

が得られます。でも、筆算は大変です。
せめて√が使える電卓ぐらいは用意したほうがいいですよ。

ついでに開平法のやり方のURLも入れておきます。

参考URL：http://yosshy.sansu.org/sqr.htm

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:42

No.2 回答者： inara 回答日時： 2007/09/23 09:34

これは「数値計算」の問題のような気がしますが・・

問題を一般化して、m、n が整数のとき、A^( m/n ) を四則演算（＋－×÷）だけで計算する方法を紹介します。10^0.2 というのは、A = 10、m=1、n = 5 の場合になります。

A^( m/n ) は、関数 f(x) = x^n - A^m = 0 の解です。数値計算では、f(x) = 0 の解 x を求める漸化式として
　　　x[n+1] = x[n] - f( x[n] )/f'( x[n] )
が使われます（ニュートン・ラプソン法） 。この場合 f(x) = x^n - A^m、f'(x) =n*x^(n-1) ですから
　　　x[n+1] = x[n] - ( x[n]^n - A^m )/{ n*x[n]^(n-1) }
　　　　　　　 = ( 1 - 1/n )*x[n] + ( A^m )/{ n*x[n]^(n-1) }
が、A^( m/n ) を求める漸化式となります。初期値を x[0] = A として、この式を使って x[1]、x[2]、・・・ と次々に求めていって、x[ ] が動かなくなったところが解になります。この式は A 、m、n がマイナスでも使えますが、 A^(m/m) が数学的に無意味なとき（ A = -1、m = 1、n = 2 など）は計算してもオーバフローするか収束しません。

A = 10、m=1、n = 5 の場合
　　　x[n+1] = 4/5*x[n] + 2/( x[n]*x[n]*x[n]*x[n] ) --- (1)
が 10^0.2 を計算する式になります。これを15桁精度で計算してみると
x[0] = 10
x[1] = 8.00020000000000
x[2] = 6.40064823242493
x[3] = 5.12171019598693
x[4] = 4.10027465454472
x[5] = 3.28729556684556
x[6] = 2.64696320430731
x[7] = 2.15831219143923
x[8] = 1.81881622015378
x[9] = 1.63781027109793
x[10] = 1.58820394873794
x[11] = 1.58490696686523
x[12] = 1.58489319270054
x[13] = 1.58489319246111
x[14] = 1.58489319246111
となって、x[14] で値が動かなくなります。10^0.2 の正確な値は
　　　10^0.2 = 1.584893192461113485202101373391507013269442133825039068316296812316656863668453980110202723846111044
ですから、x[14] が15桁精度の解になっていることが分かります。
x[n]*x[n]*x[n]*x[n] を筆算で計算するのは大変ですが、メモリと＋－×÷だけしかない電卓なら計算できます。

m = 1、n = 2 なら、√A の計算式になります。その場合の漸化式は
　　　x[n+1] = ( x[n] + A/x[n] )/2
となります。√キーがついている昔の電卓はこの式で√を計算していたらしいです（そのため表示されるのにちょっと時間がかかっていた）。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:43

No.1 回答者： yanasawa 回答日時： 2007/09/23 09:21

10の(1/5)乗、つまり10の5乗根です。

5乗して10になるように電卓で計算してください。大変ですけど。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

お礼日時：2007/09/30 08:41