平行平面板導体

十分広い面積Ｓの２枚の平行平面板導体が間隔ｄを隔てて
真空中に置かれているとき、

１．上の導体板に正電荷ｑ、したのｐ導体板にーｑの負電荷を与えるた
ときに、
(1)上の導体板付近の電場Eを求める。
(2)２つの導体板の電位差Vを求める。
(3)この導体系の電気容量Cを求める。
(4)微小な電荷ｄｑを負の極から正の極に移すに要する仕事ｄＷを求める。

という問題で、
電場を求めるには、一般に
E=σ/ε0 σ:表面の電荷面密度

で求めますが、この場合は・・？
E=q/(S*ε0)
でいいのでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2002/08/18 01:06

guiter さん，お久しぶりです．

専門家にマークするべきでしたね．こんどはそちらにしました．

回答を書いている途中に guiter さんの回答が出ましたので，
だいぶダブりがあります．

> ということは、
> (2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
> V=2q/(S*ε0)
>
> それとも
> V=-∫EdSを使用するのでしょうか？

どうも根本的誤解があるようです(電場と電位の区別がついていない？)．
まず，電位差の基本は(電場)×(距離)です．
これは，力学の仕事が(力)×(距離)であるのと同じことです．
今は電場が場所によりませんので基本通りで，電位差 V は
V = E*d = qd/(S*ε0)
です．
電気容量 C の定義 q = cV と組み合わせると，
C = S*ε0/d (おなじみの結果でしょう)が出てきます．

V=-∫E ds は電場が場所によって違うときの式です．
掛け算が積分になるのは，長方形の面積が(高さ)×(幅)だったのが，
曲線(場所によって高さが変わる)の下の面積が積分で表されるのと全く同じ理屈です．
大文字の S と小文字の s の違いにも注意してください．
今は小文字の s で，積分は線積分です．

ガウスの法則の話で ∫EdS という面積分が出てきますが，
そこらへんを混同されていませんでしょうか？

上にもちょっと出てきましたが，(仕事)=(力)×(距離)です
(力の方向と動く方向がちがうとその間の角度θの cosθ 分だけ修正が必要ですが)．
もともと，単位電荷に働く電気力が電場です(これが電場の基本的定義)．
したがって，電場が E なら 電荷 dq に働く力は E dq です．
そうすると，仕事は E dq × d = Ed dq = V dq = (q/C) dq になりますね．

察するに，この問題はこの系のエネルギーを求める話につながるんでしょうね．
電荷を運ぶに従って，導体板の電荷が変化しますから結局電位差も変化します．
少しずつため込んだ仕事が系のエネルギー U ですから
U = ∫{q=0～q} V dq = (1/C)∫{q=0～q} q dq = (q^2 / 2C)
になります．

No.5 回答者： guiter 回答日時： 2002/08/18 09:51

siegmund さん：

＞専門家にマークするべきでしたね．こんどはそちらにしました．
わざわざ変えさせてしまったみたいですみません。
でも、物理カテゴリでもどちらに印をつけるか迷うときはありますね。


＞V=∫q/(S*ε0) dr
＞でいいのでしょうか？
＞
＞積分範囲は0～d
＞そうすると
＞V=qd/(S*ε0)
そうですね。
今は被積分関数が定数で簡単な例なので
V=Ed という公式(？)もあるくらいです。

あとはNo.1の補足での
＞(2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
＞V=2q/(S*ε0)
をみると、(1)の電場の重ね合わせが大丈夫か気になるのですが…

例えば、正極板だけだと

↑　↑　↑　↑　↑
─────────
↓　↓　↓　↓　↓

のように +q が帯電した極板から両側にそれぞれ E=q/(2S*ε0) という大きさの電場が生じています。
一方、 -q が帯電した極板では

↓　↓　↓　↓　↓
─────────
↑　↑　↑　↑　↑

のようになっています。
これら２つを重ね合わせることで

─────────
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
─────────

のように両極板の外側では打ち消しあって０、
極板間では２倍に強め合って E=q/(S*ε0) となっています。
図は等角フォントで見てください。

No.3 回答者： guiter 回答日時： 2002/08/18 00:38

＞これは

＞「無限に広い平面上に一様な面密度σで電荷が分布している
＞ときの、面から距離ａの点での電場の強さ」
＞と解釈していいのでしょうか？
無限に広い場合は距離ａに依存しない結果となるのでそういうことになります。
ただ、私が確認したかったことは
「ガウスの定理をちゃんと理解できていますか？」
ということです。

いまは、正極板から上側と下側両方に正電荷ｑの作る電場が広がっていますから、
正電荷ｑの作る電場は q/(S*ε0) でなく、q/(2S*ε0) となるあたりよろしいですか？
負極板もあわせて考えたあとの結果は正しくなっていますが、
途中過程が間違っておられるように思います。

＞(2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
＞V=2q/(S*ε0)
これでは電位(差)と電場の次元が同じになってしまっています。
電位と電場の関係を考えてみてください。

＞V=-∫EdSを使用するのでしょうか？
この式も怪しそうですよ。

＞(3)は
＞q=CVより
＞C=q/V=(S*ε0)/2
考え方はあってますので、(1)(2)が正しければよく知られた結果が出てくるはずです。


siegmund さんが経験者に印をつけておられるのに、
専門家に印をつけてしまってなんだか気が引けます。

この回答への補足

＞(2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
＞V=2q/(S*ε0)
これでは電位(差)と電場の次元が同じになってしまっています。
電位と電場の関係を考えてみてください。

確かに次元が同じですね。
ということは・・・・
V=∫2q/(S*ε0) dr
でいいのでしょうか？
(でも、そうすると「dr」って・・・・？)
積分範囲は0～dってことですか？？？
そうすると
V=2qd/(S*ε0) ？？？？？？

補足日時：2002/08/18 00:53

この回答へのお礼

すみません。補足間違えました。
お礼の場所に自分の間違いを載せてしまって
ほんとにすがすみませんが・・・・

V=∫q/(S*ε0) dr
でいいのでしょうか？

積分範囲は0～d
そうすると
V=qd/(S*ε0)

と書きたかったのです。

お礼日時：2002/08/18 01:16

No.2 回答者： guiter 回答日時： 2002/08/17 21:44

今の場合は　E=q/(S*ε0)　という結果でよいですが、

正電荷の極板のみだと両側にそれぞれ
　E = q/(2S*ε0)
という電場が広がっているのはよろしいでしょうか？

この回答への補足

回答ありがとうございます。
>正電荷の極板のみだと両側にそれぞれ
>　E = q/(2S*ε0)
>という電場が広がっているのはよろしいでしょうか？

これは
「無限に広い平面上に一様な面密度σで電荷が分布している
ときの、面から距離ａの点での電場の強さ」

と解釈していいのでしょうか？

あと、下の方の補足に(2)～(4)について書いてみたので
もしよければ見てください。
お願いします。

補足日時：2002/08/17 23:54

No.1 回答者： siegmund 回答日時： 2002/08/17 21:26

面積 S の導体板に q の電気量が分布していますから，

単位面積あたり q/S の電気量があるわけで，これがσです．
したがって，
E=q/(S*ε0)
でＯＫです．

本当のことを言うと，板の端のところの効果を考えないといけませんが，
そこは知らん顔をしています．
知らん顔をしてよい条件が「十分広い面積Ｓ」ということで，
十分広いというのは S >> d^2 と思って結構です．

この回答への補足

ありがとうございます。

ということは、
(2)の回答は、上の導体板から下の導体板での電場を引いて
V=2q/(S*ε0)

それとも
V=-∫EdSを使用するのでしょうか？

でいいのでしょうか？
(3)は
q=CVより
C=q/V=(S*ε0)/2

とすると(4)はどのようにして解けばいいのでしょうか？

補足日時：2002/08/17 23:49