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線形代数の部分空間（行空間、列空間、零空間）がわかりません。

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  • 質問者：pon-po-po
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Ａの行空間、Ａの零空間、Ａの列空間、Ａの転置の零空間がよくわかりません。

たとえばｘ、ｙ、ｚ座標において、どのような空間になるのか理解出来ません
色々と調べてはみたつもりなのですが、図として表現されてなくて、言葉だけでは、あまりイメージが浮かびません。

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「分解 ベクトル」に関するQ&A： エルミート行列の行ベクトルによる分解

A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

Ａの零空間までは下の説明で良いのですが、行空間の部分を訂正させていただきます。

Ａの行空間を作る横ベクトルをd,e,fとし内積を(,)とすると Au の成分は (d,u), (e,u), (f,u) となります。すなわちuのd,e,f方向への射影となります。d,e,fのうち一次独立なものが二つしかないときuの成分x,y,zをいろいろ変化させるとAuは一つの平面になります。この平面に垂直なベクトルの集合がＡの転置行列の零空間です。これはＡの余核(Cokernel)と呼ばれています。
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No.2

３×３行列Ａが３次元ベクトル空間の間の線形写像を表し、Ａの列空間を作る３つのベクトルをa,b,c とします。

縦ベクトルuの成分をx,y,z とすると

　Au = xa + yb + zc

これを見るとx,y,zとしてどんな数をとってもAu はベクトルa,b,c の線形結合以外のものになりようがないではありませんか。すなわちa,b,c はＡの値域空間を張る基底ベクトルです。次にＡの行空間をなす３つのベクトルをd,e,f とし、しかもこのうち１次独立なものが２つしかないとします。するとd,e,f は平面を張り、この平面に垂直な０でないベクトルが存在します。ベクトルu をd,e,fが張る平面に平行な成分v と垂直な成分w に分解します。

　u = v + w

するとＡはwを消去しvはd,e,f平面内での１次変換を受けます。ｗの作る空間がＡの零空間(核)でＡはuをd,e,f平面内に落とし込んでしまいます。したがってd,e,f もまたＡの値域空間を張る基底ベクトルです。a,b,cの中の１次独立なベクトルの数とd,e,fの中の１次独立なベクトルの数は一致し、行列Ａのrankと呼ばれます。
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No.1

  • 回答者： ojisan7
  • 回答日時：

以前にも同様の質問に回答した記憶があります。


↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3172845.html

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3172845.html

この回答への補足

ご返答ありがとうございます。

実はあらかじめ、そのリンク先も目を通したんです。
しかし、十分な理解が出来なかったので、改めて質問させて頂きました。

自分自身が勉強不足な面もあると思うのですが、もし上手くご説明して頂けたら、お願いいたします。

補足日時：2007/10/05 08:34
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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか？
過去の質問の回答に

>ｃを列ベクトル、Aを行列とする。
>（cの転置）Aｃ＞0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか？
また、半正定は固有値に＋と－が交じっていて、
負定は固有値が－のみなのですか？

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義　ｎ次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』ｎ次元（列）ベクトル c に対して、
（cの転置）Aｃ＞0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
（ｃとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。）
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
（cの転置）Aｃ＞0とは限りません。
例えば、
A　＝
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は１です。
しかし、
（cの転置） = [ 1, -2]
とすると、
（cの転置）Aｃ = -3 < 0
となってしまいます。（実際に計算して確かめてください。）
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』　--> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて０以上です。（つまり０も許します。）
逆に、対称行列の固有値がすべて０以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルｃに対して
（cの転置）Aｃ＜0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義　ｎ次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』ｎ次元（列）ベクトル c に対して、
（cの転置）Aｃ＞0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
（ｃとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。）
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

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Q線形・非線形って何ですか？

既に同じようなテーマで質問が出ておりますが、
再度お聞きしたく質問します。

※既に出ている質問
『質問：線形、非線型ってどういう意味ですか？』
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=285400
結局これを読んでもいまいちピンと来なかった...(--;


1.線形と非線形について教えてください。
2.何の為にそのような考え方(分け方)をするのか教えてください。


勝手なお願いですが、以下の点に留意いただけると大変うれしいです。
何せ数学はそんなに得意ではない人間＋歳なので...(~~;

・わかりやすく教えてください。(小学生に説明するつもりぐらいだとありがたいです)
・例をあげてください。(こちらも小学生でもわかるような例をいただけると助かります)
・数式はなるべく少なくしてください。

『そんな条件じゃ説明できないよー』という方もいると思いますが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

Aベストアンサー

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝Ａ（一定）

という規則が成り立つからです。

ｘやｙの例としては昨日の例で言う例１だとｘがガムの個数、ｙが全体の金額、例２だとｘが時間、ｙが走った距離です。

この規則が何で役に立つかというと、式をちょっと変形すると、

（ｙの増加量）＝Ａ×（ｘの増加量）・・(1)

ということがわかります。つまり、Ａの値さえわかれば、ｘが増えたときのｙの値が容易に推測できるようになるわけです。


ここで「Ａの値さえわかれば」と書いていますが、この意味を今から説明します。

自然界の法則を調べるためには何らかの実験を行います。例えば、りんごが木から落ちる運動の測定を行います。
ここから質問者様がイメージできるかわかりませんが、りんごは時間が経つにつれて（下に落ちるにつれて）落下するスピードが速くなるんです。今、実験として、１秒ごとにりんごのスピードを測定したとします。そしてその結果をグラフにプロットしていくと、直線になることがわかります。（ここがわかりにくいかもしれませんが、実際に実験を行うとそのようになるのです）

数学の問題のように初めから「時速１００kmで走る」とか「１個１００円のガム」とかいうことが与えられていれば直線になることはすぐにわかります。
しかし、自然界の法則はそうもうまくいきません。つまり、実験を行ってその結果をプロットした結果が直線状になっていたときに初めて「何らかの法則があるのではないか」ということがわかり、上で書いた「Ａの値さえわかれば」の「Ａ」の値がプロットが直線状になった結果、初めてわかるのです。

そして、プロットが直線状になっているということは、永遠にそうなることが予想されます。つまり、今現在はりんごが木から落ちたときしか実験できませんが、その結果を用いて、もしりんごが雲の上から落としたときに地面ではどのくらいのスピードになるかが推測できるようになるわけです。ここで、このことがなぜ推測できるようになるかというと、(1)で書いた関係式があるからです。このように「なんらかの法則があることが推測でき、それを用いて別の事象が予言できるようになる」ことが「線形」が重要だと考えられる理由です。

しかし、実際に飛行機に乗って雲の上からりんごを落としたらここで推測した値にはならないのです。スカイダイビングを想像するとわかると思いますが、最初はどんどんスピードが上がっていきますが、ある程度でスピードは変わらなくなります。（ずっとスピードが増え続けたら、たぶんあんなに空中で動く余裕はないでしょうか？？）つまり、「線形から外れる」のです。

では、なぜスピードが変わらなくなるかというと、お分かりになると思いますが、空気抵抗があるからなんですね。（これが昨日「世の中そううまくはいかない」と書いた理由です）つまり、初めは「線形」かと思われたりんごを落とすという実験は実際には「非線形」なんです。非線形のときは(1)の関係式が成り立たないので、線形のときほど容易には現象の予測ができないことがわかると思います。


では、非線形だと、全てのことにおいて現象の予測が難しいのでしょうか？実はそうでもありません。例えば、logは非線形だということをNo.5さんが書かれていますが、「片対数グラフ」というちょっと特殊な形のグラフを用いるとlogや指数関数のグラフも直線になるんです。つまり、普通のグラフでプロットしたときに「非線形」になるため一見何の法則もないように見えがちな実験結果が「片対数グラフ」を用いると、プロット結果が「線形」になってlogや指数関数の性質を持つことが容易にわかり、それを用いて現象の予測を行うことが（もちろん単なる線形よりは難しいですが）できるようになるわけです。


これが私の「線形」「非線形」の理解です。つまり、

1) 線形の結果の場合は同様の他の事象の推測が容易
2) 非線形の場合は同様の他の事象の推測が困難
3) しかし、一見非線形に見えるものも特殊な見方をすると線形になることがあり、その場合は事象の推測が容易である

このことからいろいろな実験結果は「なるべく線形にならないか」ということを目標に頑張ります。しかし、実際には先ほどの空気抵抗の例のように、どうしても線形にはならない事象の方が世の中多いんです。（つまり、非線形のものが多いんです）

わかりやすいかどうかよくわかりませんが、これが「線形」「非線形」を分ける理由だと思っています。

やっぱり、「線形の方がなんとなくわかりやすい」くらいの理解の方がよかったですかね(^^;;

昨日「線形の方がなんとなくてわかりやすくないですか」と書いたんですが、やっぱり理系の人間らしく、もうちょっときちんと説明してみます。昨日は数式をなるべく出さないように説明しようとがんばったんですが、今日は少しだけ出しますが、勘弁してください。m(__)m（あと、長文も勘弁してください）


数学的にはちょっとここまで言えるかわかりませんが、自然界の法則としては、「線形」が重要な意味を持つのは、ｘの値が変化するにつれて変化するｙがあったときに、

（ｙの増加量）／（ｘの増加量）＝...続きを読む

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QKer（核）やIm（像）の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
（解が一通りしかない場合）もありますが、解がない場合だって
ありますよね？　これも、Ａの中身によります。
そこで、ｘをいろいろ変えてみて、でてくるｂを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ａｘ＝０の解ｘの集合、
Im(A)は、Ａｘ＝ｂが解ける場合のｂの集合
とでも理解しておけばいかがですか？
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連...続きを読む

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Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか？
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか？

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの１つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか？



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「３」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。（もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です）
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「（１，１）というベクトルに対するノルムは？」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか？」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
（例：（３，１，５）というベクトルの最大値ノルムは、３つの数字の最大値である５になります）

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
（数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね）
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか？
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
（ちょっと難しいかな？）


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの１つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか？



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Ｅとは何ですか？

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Ｅとは何でしょうか？

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか？それとも講座などをうけたのでしょうか？

回帰分析でＲ２（決定係数）しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか？
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは？
　2.43×1/(10の19乗)で、
　2.43×1/10000000000000000000となり、
　2.43×0.0000000000000000001だから、
　0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何？下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『Ｅ』のみ説明します。
・回答者 No.1 ～ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Ｅxponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか？
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

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Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか？
またどのように計算できるのでしょうか？
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます．

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Q固有値、固有ベクトル、対角化...何のため？

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか？
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか？
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか？

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっきりするから「数列」ではなく「ベクトル」と呼んでみた。
・意味はない！目的はない！ただ数学として突き詰めているだけだ！
...などなど

あっ、でも急を要している訳ではないので
もしご存知の方、もしくは自論をお持ちの方は
お時間のある方はご回答いただければ幸いです。

ちなみにテキストは共立出版の『やさしく学べる基礎数学～線形代数・微分積分～です。
やっと線形代数が終わって、微分積分に入ろうというところで、ふと疑問を持ってしまいました...(~~;

本当に漠然とした質問で恐縮ですが、どうぞよろしくお願いいたしますm(__)m

私は文系出身の32歳会社員です。

ふとしたきっかけで数学を学び直そうかなと
独学で最近始めました。

そこで...
本当に素朴で基本的な疑問で恐縮なのですが...

(1)何のために固有値を求めるのでしょうか？
(2)何のために固有ベクトルを求めるのでしょうか？
(3)何のために行列の対角化を行うのでしょうか？

回答は歴史的背景、学術的背景、感情...etc、なんでも結構です。
例)
・特定の法則で計算すると固有値が求められるので求めた。
・固有ベクトルは縦に並べてベクトルとしてみた方がすっ...続きを読む

Aベストアンサー

行列を 1個固定して考えてみます.
この行列は何かよくわからないんですが線形変換を表します.
たいていのベクトルはこの線形変換によって変な方向を向いてしまうんですが, まれに方向が変わらず長さだけが変わるベクトルがあります.
このように「長さだけが変わるベクトル」がこの線形変換 (ひいては行列) の固有ベクトルとなります. で, 長さの変化率が固有値.

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Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は３個あります。ちなみに最小限は(0,0)の１個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

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Q連立微分方程式の初期値問題について

連立微分方程式の初期値問題についての質問です

y1' = -18y1 -30y2
y2' = 10y1 + 17y2

y1(0) = 10
y2(0) = -6

の解の求め方を教えてください

よろしくお願いします

Aベストアンサー

y1' = -18y1 -30y2　…(1)
y2' = 10y1 + 17y2 …(2)

y1(0) = 10 …(3)
y2(0) = -6 …(4)

>解の求め方を教えてください

(1)の両辺を微分した式に、(1)のy2と(2)のy2'を代入して
y1の同次二階線形微分方程式を導出して
解く。
　y1”=6y1-y1’
　y1(t)=6e^(2t) +4e^(-3t)

次に、求めた結果の y1 と y1' を(1)に代入して
y2(t)を求める。
　y2(t)=-4e^(2t) -2e^(-3t)
　
ただ、これだけです。

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Q対数変換する意味？

私は数学が苦手な文系大学生です。最近「地域分析」という本を読んでいるのですが、たびたび数式を「対数変換すると・・・」と言う風に話が進みます。対数変換をすることの意味がわからないので内容が理解できません。

まず、対数変換とは何なのか？対数変換を行なうと何がどのように変わるのでしょうか？
また、一般的に対数変換とはどのような目的で行なわれるのでしょうか？

ということを文系の学生にわかりやすく教えていただけないでしょうか。
対数変換の内容を理解していないため、質問が的を得ていないかもしれませんが、よろしくお願いします。（また、ここで説明できるような内容でなければ、その旨をお伝えください。）

Aベストアンサー

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと（ここでは常用対数に限定することにしたので）、
ある数値が１０（これが常用対数の底の値）の何乗であるのか
ということです。

たとえば、１００という数値の常用対数を取ると、
１００は１０の２乗ですから、「２」となります。
同様に１０００は「３」、１００００は「４」です。

このように表現すると、正の数値で１以下の小数から
万や億などの非常に大きい値に散らばる数値サンプルを
整理したり表現するのに非常に便利です。

また、対数にしてグラフを作ると、上記のように非常に
大きな数（または０．０００００・・・・のように非常に小さい数）
を限られた紙面上でプロットする事ができます。
もしそのプロットした結果が直線になった場合、
その直線の傾きでサンプルの近似式を導き出すこともできます。

具体的例を挙げると、身近なものではpH値。
これはある液体の単位量あたりどのくらい水素イオンが
含まれるかを対数表現したものです。
（厳密には、モル濃度で表した水素イオン濃度の逆数の常用対数）

まとめると、対数は小数から数万・億などの広範囲に散らばる
数値を整理するために使われる道具とお考えになられたら
良いと思います。

まず、ここで論じられている「対数」が「常用対数」を意味する
ことを前提として話を進めましょう。

対数に変換するということは、ある数値を
任意の底の値の指数値で表すことを意味します。
具体的に言うと（ここでは常用対数に限定することにしたので）、
ある数値が１０（これが常用対数の底の値）の何乗であるのか
ということです。

たとえば、１００という数値の常用対数を取ると、
１００は１０の２乗ですから、「２」となります。
同様に１０００は「３」、１００００は「４」です。

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