ベクトルの問題を解くコツを教えて下さい！

Question

こんばんは！
ベクトルがはっきり言って苦手です。
特に位置ベクトルあたりから苦手になりました。
全くわからないというんではなくて、解答を見ればナルホド、という感じなんです。
たぶんベクトルの基本方針がわかってないんだと自分は思ってるのですが。(基本方針とは二次関数だったら平方完成とかです)
証明の問題も苦手です。
なにかアドバイスがありましたら教えて下さい。
よろしくお願いします！！

Nandayer · Accepted Answer

ANo.#6 の補足にお答えします。だんだん回答するのが苦しくなってきましたが・・・。

　や・・・こんな式を図に描こうとして、描けたとしても意味不明ですね。
　「ベクトルの式が何を表すかを考える」といった方針は、このような問題には通用しません。
　こういうのは、ゴリゴリ式で計算するしかありません。ちなみに、私がゴリゴリやってみたところ、
　　　　ＡＰベクトル　＝　１／１３（４ＡＢベクトル＋３ＡＣベクトル＋５ＡＤベクトル）
になりました。合ってますか？というより、こんなの解答はどう書くのですか？
　（回答欄から質問を投げるのも変なので、お答えいただかなくても構いません。）

　回答をウンウン考えているうちに気付いたのは、幾何の問題を幾何だけで解こうとすると大変だが、ベクトルの言葉に翻訳すると代数的な（計算によって解ける）問題になって簡単になる場合がある。そして、ベクトルの計算問題というのは、そういった問題を解くための練習になる、ということです。
　それは例えば、こういう問題のことです。

　三角形 ABC の頂点 A, B, C から、辺 BC, CA, AB に降ろした垂線の足（わかるかな？）を、それぞれ F, G, H とする。線分 AF, BG, CH は１点で交わることを証明せよ。
　この点を三角形 ABC の垂心（すいしん）という。

　これを幾何だけで解こうとすると結構大変なのですが、ベクトルの内積を使うと比較的ラクです。stripe さんはベクトルの計算問題は十分解けるようですから、証明が苦手だなどとおっしゃらずに、これをやってみてはどうでしょうか。もっとも、もうご存知かもしれませんが。

　以上、とりとめがなくなりましたので、関心があるところだけ読んで、また質問してください。

thetas · Answer

平面について、述べます。
（図示しやすいから、と言う理由だけです）

（例１）
直角二等辺三角形ＯＡＢ（∠Ｏ＝90度）
で、ベクトルＯＡ、ベクトルＯＢを基準にすると
座標と成分が一致します。

ただ、このような直交座標だけでない座標を考えることができます。
それは斜交座標といって、座標軸の交わりかたが垂直ではないとか、１目盛りの長さが異なるとか、いままでのデカルト座標と異なるところがあります。

でも、そのような座標をも、ベクトルで表すことができます。

（例２）
三角形ＡＢＣにおいて、辺ＡＢの中点を点Ｄとし、
辺ＢＣを３：１に内分する点をＥとして、
（後の問題は略　←この説明の本質ではないので）

この様な場合は、ベクトルＡＢとベクトルＡＣを基準にして、
つまり、この２つで、すべてのベクトルを表します。

特に、始点がＡであれば、
ＡＥ＝１／４ＡＢ＋３／４ＡＣ　（すべてベクトルです）
のように表せます。
それに対して、
Ｅの座標が（１／４，３／４）
と対応させることができます。

その結果、図形問題を計算で処理できます。

ただ、ベクトル特有の計算の仕方が存在するのは、仕方ありません。

thetas · Answer

以下の回答は、ある特殊例かもしれません。
個人的な意見ですので注意してください。

位置ベクトルの処理として、基準になるベクトル（平面なら２つ、空間なら３つ）だけで「表す」ことを第一にします。
その後、条件を式に直していきます。
たとえば、「垂直」なら「内積が０」などのようなベクトル特有の性質を利用します。
この辺までは、悪く言うと「暗記分野」になるのでは、と思います。
ただ、これである程度の問題が解けるようになると思います。


でも、これはthetasがベクトルの問題は計算のみで解けることが多いと思ってるからでしょうね。

Nandayer · Answer

ANo.#3 の Nandayer です。すみません、遅くなりました。

＞＞このような関係を利用して、それがどんな幾何学的内容を表しているか 
＞とは図を書いてみろという事でしょうか？？ 

　そうです。まず図を描いてみてください。
　そうすると、中学校の時に習った幾何のセンスが生きてくるはずです。その図において、ベクトルの式が何を表しているかを考えましょう。
　全部が全部とは言いませんが、これで解けるベクトルの問題もあるはずです。

　幾何学というのは、数学のうち、図形の性質について学ぶ分野のことです。
　高校数学で、ベクトルとか行列について学ぶ単元を「代数・幾何」と呼んだ時代もありました。

　お知りになりたいこととずれてたり、納得できないことがあったら、また質問してください。

hismix · Answer

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。
Nandayerさんぼくも前々からこういう傾向がとても嫌でした
このような質問はとても歓迎です。

＞特に位置ベクトルあたりから苦手になりました
ちゃんとわからなくなり始めたところをわかっているというのはいいことだと思います

僕がすすめるのはやはり問題演習です。
まずそのわからなくなったあたりの基本的な問題を（たとえば黄チャートとか。）
何度も何度もやることが大切です
あまりイメージできなくても機械的にでも結構ですからとにかく正しい解答が
書けるようになるまでやってみましょう。

そのときは理解できなても必ず理解できるときがきますから。

そもそもベクトルの問題というのは高校に限ってはそんなに種類はありません
まず基本例題をすべてマスターしてください
すると知らないうちに自ずからわかってきます。

hismix · Answer

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。
Nandayerさんぼくも前々からこういう傾向がとても嫌でした
このような質問はとても歓迎です。

＞特に位置ベクトルあたりから苦手になりました
ちゃんとわからなくなり始めたところをわかっているというのはいいことだと思います

僕がすすめるのはやはり問題演習です。
まずそのわからなくなったあたりの基本的な問題を（たとえば黄チャートとか。）
何度も何度もやることが大切です
あまりイメージできなくても機械的にでも結構ですからとにかく正しい解答が
書けるようになるまでやってみましょう。

そのときは理解できなても必ず理解できるときがきますから。

そもそもベクトルの問題というのは高校に限ってはそんなに種類はありません
まず基本例題をすべてマスターしてください
すると知らないうちに自ずからわかってきます。

hismix · Answer

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。
Nandayerさんぼくも前々からこういう傾向がとても嫌でした
このような質問はとても歓迎です。

＞特に位置ベクトルあたりから苦手になりました
ちゃんとわからなくなり始めたところをわかっているというのはいいことだと思います

僕がすすめるのはやはり問題演習です。
まずそのわからなくなったあたりの基本的な問題を（たとえば黄チャートとか。）
何度も何度もやることが大切です
あまりイメージできなくても機械的にでも結構ですからとにかく正しい解答が
書けるようになるまでやってみましょう。

そのときは理解できなても必ず理解できるときがきますから。

そもそもベクトルの問題というのは高校に限ってはそんなに種類はありません
まず基本例題をすべてマスターしてください
すると知らないうちに自ずからわかってきます。

Nandayer · Answer

このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。このような「質問」を歓迎する者です。
　多少答えにくくなるのも事実ではありますが・・・。

　さて、数学のある対象を理解するには、頭のなかで多様なイメージを描くことが重要であると思います。式のような代数的なイメージもあるでしょうし、図形のような幾何学的なイメージもあります。それが時間とともに動いていくアニメ的なイメージが役立つ場合もあります。
　そして、各々のイメージ同士を関係づけることも大切です。
　もちろん、こういったイメージや関係は、個々の問題を解くときにも有用です。

　例えば stripe さんが述べておられる二次関数については、平方完成や因数分解された式のイメージもあり、グラフとして表された放物線のイメージもあります。また、これらの間の関係とは、放物線の頂点と平方完成の式、放物線とＸ軸の交点と因数分解の式の間に成り立つ関係のことです。

　そこで、ご質問のベクトルについてですが、高校レベルでは幾何学的イメージが役立つ場合が多いようです。月並みですが、
　　ベクトル a とベクトル b の内積が０　⇔ 　a と b は垂直
　　ベクトル a がベクトル b の定数倍　　⇔ 　a と b は平行
などです。（ここでは、 a, b は 0 ベクトルではないものとします。）
　問題中にベクトルの式を見かけたら、このような関係を利用して、それがどんな幾何学的内容を表しているかを考えながら図に描いてみてください。それで解ける問題が結構あると思います。（何しろ私の高校時代は遥か昔なので忘れてしまってて、正確さには欠けますが．．．）
　そのうち、いちいち図に書かなくても頭の中で描けるようになれば、しめたものです。

　少々抽象的な記述になってしまいました。わかりにくいところがありましたら、「補足」などを使ってまた質問してください。

noname#12673 · Answer

私も高校の頃は数学があまり得意でありませんでした。
いわゆる受験数学というものが肌に合わなかったのだと思います。
大学に入り、統計工学の多変量解析という数学の応用分野のひとつを学んだことで、今まで勉強していた数学の意味が分かり、数学が好きになりました。

さて、ご質問の件ですが、ベクトルを理解するためにはベクトルというアイデアがどうして出来たのかを理解できると、いろいろな定理などもわりとすんなり受け入れられると思います。
どこからが原理原則の話で、どこからが応用なのか、というのが分からないとわけわからなくなってしまいますね。
なんでこんなものを考えたのか。これを使うとどんなことが便利になるのかということを考えながら授業を受けるといろいろ疑問が出てくるはずなので、そういうことを先生に質問してみてください。

ちなみに、ベクトル(量)は、向きと量を表した量ですが、位置ベクトルは、ある始点からの、終点の場所を示したもので、量というよりは座標に近い考え方でしょうか。

とまぁ、こういう理解は大学レベルなんですけど、高校生でも十分分かる内容の本を紹介します。完全に理解できなくても分かった気になるだけでも大分違うので、数学を得意になるきっかけになれば、素晴らしいと思います。

参考URL：http://www.amazon.co.jp/exec/obidos/ASIN/4061545221/qid=1029950988/br=1-11/ref=br_lf_b_11/249-4630155-1609118

Mell-Lily · Answer

ベクトルは、高校で初めて習う概念ですから、馴れるまでは難しいかもしれません。教科書、参考書をよく読んで、問題練習をこなしましょう。問題を解くときは、答をすぐ見ないで、自分で少し考えてみます。考えれば考えただけ、何か得られるものです。

ベクトルの問題を解くコツを教えて下さい！

ANo.#6 の補足にお答えします。

平面について、述べます。

以下の回答は、ある特殊例かもしれません。

この回答への補足

ANo.#3 の Nandayer です。

この回答への補足

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。

>このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。

このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。

この回答への補足

私も高校の頃は数学があまり得意でありませんでした。

ベクトルは、高校で初めて習う概念ですから、馴れるまでは難しいかもしれません。

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　ANo.#6 の補足にお答えします。

　 ANo.#3 の Nandayer です。

　このカテゴリーには、問題の丸投げが多く辟易していました。