正規分布について

計算の証明なのですが、
∫∞～－∞(x^2/2)dxを√２に導くことができません。
どなたか教えてもらえたら光栄です。

No.4 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/10 20:50

補足の位置がちがうけどたぶんここのでしょう

2重積分の変数変換をします。
厳密にはヤコビアンですけど、簡単に
x=rcosθ、ｙ＝ｒsinθ
から
(x^2+y^2)＝r^2
dxdy は　rdrdθ
積分区間は
0≦ｒ≦∞　0≦θ≦２π
exp{(-(x^2+y^2)/2}
は
exp{(-r^2/2}
S^2
=∫{0≦θ≦２π}dθ∫{0≦ｒ≦∞} exp{-r^2/2}rddr
＝２π∫{0≦ｒ≦∞} exp{-r^2/2}rddr
＝２π[ exp{-r^2/2}]{0≦ｒ≦∞}
=２π
S=√２π

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/10/10 17:24

S=∫∞～－∞exp(-x^2/2)dx

とすると、
S=∫∞～－∞exp(-y^2/2)dy
S^2=∫∞～－∞dx∞～－∞ exp(-x^2/2exp(-y^2/2)dy
=∫∞～－∞dx∞～－∞ exp{(-(x^2+y^2)/2}dy
としてから極座標（r　θ）に変換するとできます。

No.2 回答者： monoo#2 回答日時： 2007/10/10 15:47

たぶんそうだと思います！！

その計算過程も教えていただきたいのですが…

この回答への補足

私の学力不足で恐縮なのですが、極座標変換後の解説もお願いしたいのですが…

補足日時：2007/10/10 19:02

No.1 回答者： imoriimori 回答日時： 2007/10/10 15:26

∫∞～－∞(x^2/2)dx だと発散しますが。

被積分関数はexp(-x^2/2)じゃないですか？この場合は積分値は２の平方根ではなく２πの平方根となります。