ダランベール

ダランベールの収束判定法を証明するにはどうすればよいのでしょうか？
ヒントだけでも教えてください。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： joggingman 回答日時： 2007/10/11 07:33

教科書に載ってるままですが、

a(n)/a(n-1)≦q　　0<q<1、n≧n0

n0=1としても同じ（ずらして考える）
a(n)/a(1)={a(2)/a(1)}{a(3)/a(2)}・・・{a(n)/a(n-1)}≦q^(n-1)
a(n)≦a(1)*q^(n-1)=Ｋ*q^(n)→　lim Σa(k)≦lim ＫΣq^(k) は収束

a(n)/a(n-1)≧1なら、a(n)は単調増加ゆえ、lim a(n)≠0　→Σa(n)は発散

この回答へのお礼

ありがとうございました。
とても参考になりました。

お礼日時：2007/10/11 09:13

No.2 回答者： koko_u_ 回答日時： 2007/10/10 23:35

これのことぢゃね？

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%80%E3%83%A9% …

有名だからググれば証明も見つかるはず。わりと簡単。

この回答へのお礼

ありがとうございました。
でも、証明自体は検索しても出てこなかったので質問しました。

お礼日時：2007/10/11 09:12

No.1 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/10/10 23:27

一次元の波動方程式、∂^2ｕ/∂ｔ^2 ＝ ａ^2ｕ/∂ｘ^2　　（ａ^2＝Ｔ/ρ＞０）は、

Ｔが弦の張力で一定、ρが弦の単位長さの質量で一定とするとき、その解はダランベールの解法によって求められ、

ｕ（ｘ，ｔ）＝ｆ（ｘ－ａｔ）/２＋ｆ（ｘ＋ａｔ）　・・・(1)

ですが、有限長さの弦に対してその両端における境界条件を与えて解く場合、いま長さＣの弦の両端が固定されているとすれば、境界条件は次の２式で与えられ、

ｕ（0，ｔ）＝０、　　ｕ（ｃ，ｔ）＝０　　　　・・・(2)

式(2)の条件を式(1)に代入すれば、

ｕ（０，ｔ）＝ｆ（－ａｔ）/２＋ｆ（ａｔ）＝０　　・・・(3)
ｕ（ｃ，ｔ）＝ｆ（ｃ－ａｔ）/２＋ｆ（ｃ＋ａｔ）＝０　　・・・(4)

なお、式(3)から、ｆ（ａｔ）＝－ｆ（－ａｔ）　より、関数　ｆ（ｘ）は奇関数である。
また、式(4)から、ｆ（ｃ＋ａｔ）＝－ｆ（ｃ―ａｔ）＝ｆ（－ｃ＋ａｔ）

よって、ｆ（ｃ＋ａｔ）＝ｆ（－ｃ＋ａｔ＋２ｃ）＝ｆ（－ｃ＋ａｔ）

－ｃ＋ａｔ＝τ　とおけば、ｆ（τ＋２ｃ）＝ｆ（τ）、ゆえに関数　ｆ（ｘ）は
さらに周期　２ｃ　の周期関数である。