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中心を原点Oとする単位円上に3点A,B,Cがあったとき、

OA↑+OB↑+OC↑=0↑

と3つのベクトルの和が0となるとき、

∠AOB=120度、∠BOC=120度、∠COA=120度

であることを示したいのですが、どうすればよいのでしょうか?

幾何学的(図形的)に考えれば、ほぼ自明のような気もしますが。

三角関数を用いれば、
cos(θ_1)+cos(θ_2)+cos(θ_3)=0,
sin(θ_1)+sin(θ_2)+sin(θ_3)=0
ならばcos(θ_1-θ_2)=cos(θ_2-θ_3)=-1/2
を示せばよいことになりますが。

複素数を用いれば、
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。

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A 回答 (7件)

複素数を用いれば、


e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
ならばe^i(θ_1-θ_2)=e^i(θ_2-θ_3)=ω(ただし、ωは1の3乗根)
を示せばよいことになりますが。
e^(iθ_1)+e^(iθ_2)+e^(iθ_3)=0
e^(iθ_1)で割って、
e^i(θ_2-θ_1)+e^i(θ_3-θ_1)=-1
これから第1項と第2項は共役(実部は-1/2なので、
cosを計算してもでる)
φ=θ_2-θ_1
とおくと、θ_3-θ_1=-φ
e^iφ+e^i(-φ)=-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i2φ+1=-e^iφ
e^i2φ=-e^iφ-1
両辺にe^iφをかけて、
e^i3φ=e^iφ(-e^iφ-1)=-e^2iφ-e^iφ
=e^iφ+1-e^iφ=1
e^i3φはω(ただし、ωは1の3乗根)
とか
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
複素数を用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。

お礼日時:2007/10/18 11:48

#7すばらしい!!



そっか~、それでいいんだ~。

つまり、
OA↑にOB↑,OC↑を順につなげると、足して0↑であることから原点に戻ってくるので、一辺1の正三角形になる。よって夫々のなす角は120°。

てな感じでしょうか?

感動しました。
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#5の考えも良いですね。

少し補足すると、

三角形において、「4心(外心、内心、重心、垂心)のうち二つが一致する三角形は、正三角形」ですから、△ABCは正三角形とすぐに分かります。

(この定理の証明は、初等幾何のよい練習問題ですね)

今の場合、外心と重心ですが、なるべく簡単な証明を考えると、

BC の中点をMとする。
Oが外心→OはBC の垂直二等分線上→OM⊥BC
Oが重心→AOMは一直線
よって、AM⊥BC から、AはBC の垂直二等分線上にあるから、
AB=AC
同様にBC=BAが言えて、正三角形となる。(証明終)
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普通はベクトルを使うでしょうがひねって「ほぼ」初等幾何的な方法:


|OA| = |OB| = |OC| = 1 より O は △ABC の外心です. そして, OA + OB + OC = 0 = OO より O は △ABC の重心でもあります. つまり, O は外心かつ重心 (だから垂心でもある) ということになります.
そこで, A から BC に下した垂線の足を D, B から CA に下した垂線の足を E とします.
まず △ACD, △BCE の内角の和を考えると, ∠ADC = ∠BEC = 90度と ∠ACB が共通になることから
∠CAD = ∠CBE
です. そして, O が垂心かつ重心であることから
△ABD ≡ △ACD, △BCE ≡ △BAE
となります (BD = CD, CE = AE かつ ∠ADB = ∠ADC = ∠BEC = ∠BEA = 90度だから).
つまり ∠CAB = ∠CBA です. 同じように考えると
∠CAB = ∠CBA = ∠ACB
が得られ, △ABC は正三角形であることがわかります. あとは円周角から望みの結果が得られます.
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あなたの言う通り、図形的に考えると、ほとんど自明です。


∠AOB=c,∠BOC=a,∠COA=bとおきます。

まず、OA↑+OB↑は、OA=OB=1より、「ひし形」OADBの、OD↑となりますよね。

これが-OC↑となるわけですから、図より、∠COA=∠COB(∵∠AOD=∠BOD)
つまり、b=aとなります。

同様に考えて、a=c,c=bとなりますから、a=b=cとなります。

(別解)
OD↑を考えるところまでは同じです。
このOD↑は長さ1でなければなりませんから(∵OD↑=-OC↑)、ひし形OADBは、正三角形を2つくっつけた形になります。
よってc=120°となります。
同様にa=120°,b=120°となります。

以上です。
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OA↑+OB↑+OC↑=0↑ より OA↑+OB↑=-OC↑ ・・・(*)


A,Bは単位円上の点なので、OA↑=(cosα,sinα)、OB↑=(cosβ,sinβ) 0≦α<β<2π
 と置けます。
OA↑+OB↑=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)、
Cも=単位円上の点なので、(*)により、OA↑+OB↑の大きさは1

(cosα+cosβ)^2+(sinα+sinβ)^2=1
展開して (cosα)^2+2cosαcosβ+(cosβ)^2+(sinα)^2+2sinαsinβ+(sinβ)^2=1
並べ替えて {(cosα)^2+(sinα)^2}+{(cosβ)^2+(sinβ)^2}+2cosαcosβ+2sinαsinβ=1
  1+1+2cos(β-α)=1
  ∴cos(β-α)=-1/2  
α<βなのでβ-α=120度
つまりOA↑とOB↑のなす角∠AOB=120度
以上から、∠BOC=120度、∠COA=120度も明らか
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
三角関数を用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。

お礼日時:2007/10/18 09:13

>> |OA↑|=|OB↑|=|OC↑|=1


>>OA↑+OB↑+OC↑=0↑

OA↑=-(OB↑+OC↑)
両辺を二乗して、
1=1+2cos(∠BOC)+1
cos(∠BOC)=-1/2
∠BOC=120度

同様に・・・。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ベクトルを用いた証明、たいへん簡素でわかりやすかったです。

お礼日時:2007/10/18 09:12

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(2)三角形ABCが直角三角形であるとき

と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
その証明の仕方を教えてください。

Aベストアンサー

こんにちわ。

>と2つに場合分けして証明すると思うのですが、
なぜ、このように考えましたか?

まず、いまの問題で与えられている条件を整理してみてください。
・「三角形ABCの外接円の中心をOとする」⇒ OA= OB= OC
・OAベクトル+OBベクトル+OCベクトル=OHベクトル
・垂心とは、各頂点から対辺に対して引いた垂線の交点である。⇒垂線と辺は直交する。

これらの条件を組み合わせるだけで証明はできますよ。^^


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