フィボナッチ数列とルーカス数列を使った証明

フィボナッチ数列とルーカス数列（リュカ数列）使った証明です。

L(n)をルーカス数列のn番目の数字、F(n)をフィボナッチ数列のn番目の数字として、

L(0) = 2, L(1) = 1
F(0) = 0, F(1) = 1　の場合、

L(n) = F(n-1) + F(n+1)

になることを証明しようと思ってます。

ビネの公式を使って証明しようと思ったんですが、うまく行きませんでした。それに、もっと簡単な方法があると思うんですが、どなたかわかりませんか？

No.4 回答者： tadopika 回答日時： 2007/10/19 16:14

フィボナッチ数列は知っていましたが、リュカ数列というのは初耳でした。

Wikipedia に載っていたので分かりました。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%A5% …

F(n+1)=F(n)+F(n-1) .....[1]
F(0)=0, F(1)=1, F(2)=1, F(3)=2, ...
L(n+1)=L(n)+L(n-1) .....[2]
L(0)=2, L(1)=1, L(2)=3, ...

L(n)=F(n-1)+F(n+1) .....[3]
L(n+1)=F(n)+F(n+2) .....[4]
n=1 のとき、[3], [4]は、
L(1)=1, F(0)+F(2)=0+1=1,
L(2)=3, F(1)+F(3)=1+2=3,
で成立する。
[1]～[4]より、
L(n+2)=L(n+1)+L(n)
=F(n)+F(n+2)+F(n-1)+F(n+1)
=F(n+1)+F(n+3).
よって、数学的帰納法により n>0 について[3]が成立する。

又、[1], [2]式は、nが負の場合も定義されます。
例えば、
F(-1)=1, F(-2)=-1, F(-3)=2, F(-4)=-3, ...
L(-1)=-1, L(-2)=3, L(-3)=-4, L(-4)=7, ...
この場合の証明は...
[1]～[4]より、
L(n-1)=L(n+1)-L(n)
=F(n)+F(n+2)-F(n-1)-F(n+1)
=F(n-2)+F(n).
よって、数学的帰納法により n<1 についても[3]が成立する。


別の方法として、[1], [2]の漸化式からF(n), L(n)の一般項を求めて証明する方法もあります。

[1]より、a=(1+√5)/2 として、
F(n+1)+1/a*F(n)
=a{F(n)+1/a*F(n-1)}
=a^n*{F(1)+1/a*F(0)}
=a^n.
F(n+1)-1/√5*a^(n+1)
=-1/a*(F(n)-1/√5*a^n)
=(-1/a)^(n+1)*{F(0)-1/√5}
=-1/√5*(-1/a)^(n+1).
F(n)=1/√5*{a^n-(-1/a)^n} .....[5]

同様にして[2]より、
L(n)=a^n+(-1/a)^n .....[6]

[5]より、
F(n-1)+F(n+1)
=1/√5*{a^(n-1)-(-1/a)^(n-1)+a^(n+1)-(-1/a)^(n+1)}
=1/√5*{a^n*(a+1/a)-(-1/a)^n*(-a-1/a)}
=a^n+(-1/a)^n.
よって、[6]より、
L(n)=F(n-1)+F(n+1).

No.3 回答者： aiueo95240 回答日時： 2007/10/19 00:02

加法定理

2F(m+n)＝F(m)L(n)＋L(m)F(n)
は公式なので、それを使えばほぼ当然の結果です。

証明も、L(n) = F(n-1) + F(n+1)という特別なものを特殊な方法で示すよりも、
加法定理を示すほうが、より一般的です。

No.2 回答者： tecchan22 回答日時： 2007/10/18 22:55

帰納法だと簡単ですよ。

（前の二つを仮定する）

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/10/18 12:39

リュカの定義を明確にすべきですが・・・

ビネの公式なんてのも知りませんが。。。

ヒントだけ
（０）x^2-x-1=0の解をa，bとおく
（１）一般項を求める
（２）a^{n+1}-b^{n+1}の因数分解をよくみる

Wikipediaも参照