因数分解の問題だけど・・。

(x+y+z)-x~3-y~3-z~3
なのだけど、ややこしくて解けませんでした。
工夫してやる方法があるのでしょうか？
どうか、教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： hinebot 回答日時： 2002/08/27 14:49

問題ですが、ひょっとして最初の3乗が抜けてませんか？

つまり、(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 じゃないですか？
もし、そうなら下記のようにします。

(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 にx=-y を代入してみます。
（与式）=(-y+y+z)^3-(-y)^3-y^3-z^3
=z^3+y^3-y^3-z^3 = 0

よって、因数定理により、与式は x+y を因数に持ちます。
与式は対称式（x,y,zの順序を入れ替えても同じ式）なので、対称式の性質として
x+y を因数にもつなら、y+z,z+x も因数に持ちます。

与式は3次式なので、定数kを用いて
(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 = k(x+y)(y+z)(z+x)
と表せます。

これが、x,y,zの恒等式であることに着目してx=y=1,z=0を代入すると
左辺＝ 2^3-1-1-0=6
右辺＝k×2×1×1=2k より、k=3 と求まります。

よって答えは　(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3 = 3(x+y)(y+z)(z+x) となります。

No.4 回答者： kony0 回答日時： 2002/09/02 02:06

基本に忠実にいきましょう。

x+y+z=Aとでもおくと
A^3-x^3-(y^3+z^3)
=(A-x)(A^2+Ax+x^2)-(y+z)(y^2-yz+z^2)［ただの３乗の和差公式］
=(y+z)(x^2+y^2+z^2+2xy+2yx+2zx+x^2+xy+zx+x^2-y^2+yz-z^2)［因数分解の基本、共通因数］
=(y+z)(3x^2+3xy+3yz+3zx)
=3(y+z){(x+y)z+(x^2+xy)}［因数分解の基本、低次の文字(z)で式を整理］
=3(y+z)(z+x)(x+y)

No.2 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/08/27 13:56

【問題】

x,y,zの整式
　(x+y+z)-x^3-y^3-z^3
を因数分解せよ。

問題は、合っていますか？公式
　x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
は、知っていますか？

No.1 回答者： GON009 回答日時： 2002/08/27 11:39

（ｘ＋ｙ＋ｚ）の二乗か三乗してかいを出しその逆を考えつつ因数分解。

なんか準公式があったきがするが、逆から辿ると公式を忘れていてもとけますよ。