【復活求む!】惜しくも解散してしまったバンド|J-ROCK編 >>

粘性応力の式において、垂直方向の応力に関して、体積変化を表す項があるかと思います。

(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z)=div u

この式がどのようにして導出されたのかがよくわかりません。
図形的にはどのようなイメージなのでしょうか?

あと、div u(vと書いてある時もあります)についてなのですが、これは何なのでしょうか?
せん断方向の応力を考える時に、流体内が速度勾配が生じる・・・などと流体力学の本には書いてあるのですが、これと同じように流体内に生じる速度なのでしょうか?

さらに、この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか?

わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

A 回答 (5件)

#1です.



間違いがありましたので,訂正致します.(下記は訂正後です.)

流入時には,密度ρ,速度u
流出時には,密度ρ’=ρ+(∂ρ/∂x)dx,u’=u+(∂u/∂x)dx

微小要素内で,x軸に垂直な面(面積dydz)を介した流体の増減は,
ρ’u’dydz - ρudydz

上記をx,y,zについて合わせて式を展開しますが,その過程で,
ρを一定とする,両辺に出て来るdxdydzは約分する,とすれば,
ご質問の式が導かれます.

要するにこの式は,微小要素内の「質量保存則」を表していることになります.
(この式自体は,粘性流体に限らず,一般的なものです.)

あと,divについて今一度.
お風呂の浴槽を考えて下さい.これが微小要素(又は検査領域)であるとお考え下さい.

栓をして満杯に溜めているとします.
そこへ蛇口から更に水を入れます.これが流入です.
溢れた水は浴槽からこぼれだします.これが流出です.
このとき,栓をしたままであれば,divは0です.
しかし栓を開けるとdivが0ではなくなります.
このとき,もし水位が下がったり,或いは逆に依然溢れ続けていたりしても,
蛇口,排水口,溢れ出す分,の合計は0になっています.
ご質問の式では,
蛇口と溢れ出す分が左辺に,排水口の分が右辺になっています.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

質量保存の式なのですね。
もう一度本などを読み直してみます。

お礼日時:2007/10/28 20:40

で、あるとすると、


(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z)=fの単位体積での変化が、
divu。
divf=fの単位立方への流出入?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

他の方の回答なども見ながら考えたのですが、単位体積当たりの増加率、流出入などのような気がしています。

お礼日時:2007/10/30 23:53

> わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。


偏微分は理解出来ているでしょうか。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

偏微分についてですが、私が理解しているのはこの程度です。

変数が2つ以上ある時に片方の変数を固定して、もう片方のみを微分することを偏微分という。
これに対して、すべての変数を同時に微分することを全微分といい、
たとえば、関数f(x,y)に対して、
df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
と表す。
(∂f/∂x)は、xの単位x当たりの変化に対するfの変化
(∂f/∂x)dxは、xがdx変化した時に対するfの変化

これでは不十分でしょうか・・・。
何かありましたらご意見等よろしくお願い致します。

お礼日時:2007/10/28 20:53

流体中にある直方体を考えて、この直方体が流れとともに


どのように変形するかを考えます。
簡単のため、まず2次元で考えます。
P(x,y)   流体の速度(u,v)
Q(x+dx,y) 流体の速度(u+(∂u/∂x)dx,v+(∂v/∂x)dx)
R(x,y+dy)  流体の速度(u+(∂u/∂y)dy、v+(∂v/∂y)dy)
S(x+dx,y+dy) 流体の速度(u+∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy,v+(∂v/∂x)dx+(∂v/∂y)dy)
δt後に各点の移動先を求めます。
P'(x+uδt,y+vδt)  
Q'(x+dx+(u+(∂u/∂x)dx)δt,y+(v+(∂v/∂x)dx)δt)
R'(x+(u+(∂u/∂y)dy)δt、y+dy+(v+(∂v/∂y)dy)δt) 
これより微小線素ベクトルPQ PR
PQ=(dx,0)
PR=(0,dy)
がδt後にどうなるかを調べると、
P'Q'=(dx+(∂u/∂x)dxδt,(∂v/∂x)dxδt)
P'R'= ((∂u/∂y)dy)δt、dy+(∂v/∂y)dyδt)
変形前の面積はPQ×PR=dxdy
変形後の面積はP'Q×P'R'  (外積)
高次の微小量を省略して計算すると、
(dx+(∂u/∂x)dxδt,(∂v/∂x)dxδt)×((∂u/∂y)dy)δt、dy+(∂v/∂y)dyδt) 
={(dx+(∂u/∂x)dxδt)(dy+(∂v/∂y)dyδt)}
-{((∂v/∂x)dxδt)((∂u/∂y)dy)δt)}
= dx dy+(∂v/∂y) dx dyδt+(∂u/∂x)dx dyδt
=dx dy+{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y)} dx dyδt
面積の増加率は、
{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y)}
となります。3次元では、速度のw成分と、(x,y,z+dz)を考え、
そのδt後の位置から、移動分の、3つのベクトルのスカラー積をもとめることで体積の変化が出ます。
{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y) + (∂w/∂z)}
となります。
このように、この式は、流体粒子と一緒に動くとして考えれば、(ラングランジェ的に見ると)、体積の増加率になります。検査体積を固定して、境界面からの出入りを考えれば、検査面からの湧き出し量を表すことになります。

この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか?
速度ベクトルは3次元ベクトルですから、3つの成分を持ちます。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

自分で紙に書いたりして実際に導いてみます。

お礼日時:2007/10/28 20:37

流体力学の式は,微小要素を考えると理解することが出来ます.


(ご質問の式はρが一定だとしていると思いますが,一般的に書きます.)

例えば微小要素として,一辺がdx,dy,dzの直方体を考えます.
適当にx,y,z軸を考えます.

例えばx軸に垂直な面について,一方に流入,一方から流出と考えまうs.
流入時には,密度ρ,速度u,
流出時には,密度ρ+(∂ρ/∂x),速度u+(∂u/∂x),
とします.するとこの微小要素内で,x軸に垂直な面を介した流体の増減は,
[ρ+(∂ρ/∂x)][速度u+(∂u/∂x)] - ρu
ですね.
それで,偏微分のところは二次以上の微小項を無視する,とします.

これをx,y,z方向について纏めれば,式を導けるでしょう.

divは「湧き出し」「吸い込み」で,微小要素内で流体の湧き出しや吸い込みがあると0ではなくなります.

つまり,微小要素内の流体の「量」の釣り合い式が,ご質問の式です.
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