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すみません私の頭では無理でしたので、どなたか分かる方いらっしゃいましたら教えてください。
座標上のどこかに円があります。その円周上に等間隔に三点の座標a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)があり、その3つの座標だけが分かるとき、その円の中心座標って求めることはできますか?
座標は円周上に左回りでa⇒b⇒cとあるとします。
出来るだけやさしく解説していただければと思います。
よろしくおねがいします。
※この書き方で質問したいことってわかるでしょうか?

gooドクター

A 回答 (5件)

高校数学を使っていいなら、中心の座標が(a,b),半径がrである円の方程式は


(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
です。後の説明のために展開しておきますね。
x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2 =r^2
これに3つの点の座標を代入します。
x1^2-2ax1+a^2+y1^2-2by1+b^2 =r^2 …(1)
x2^2-2ax2+a^2+y2^2-2by2+b^2 =r^2 …(2)
x3^2-2ax3+a^2+y3^2-2by3+b^2 =r^2 …(3)

未知数はa,b,rの3つで式が3つなので、この連立方程式は解けます。
それでa,bを求めれば、それが中心の座標です。

実際に解く場合は、この3つの式を引き算して新しい式をつくります。(rとa,bの2乗の項を消すことができます。
(1)-(2) 2(x2-x1)a + 2(y2-y1)b = (x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2) …(4)
(1)-(3) 2(x3-x1)a + 2(y3-y1)b = (x3^2-x1^2)+(y3^2-y1^2) …(5)
※別に(2)-(3) でも構いません。
(4),(5)は連立一次方程式なので、解くのは難しくありません。
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この回答へのお礼

丁寧に解説ありがとうございました。
なんか解けそうな気がしてきました。

お礼日時:2002/08/30 10:06

No3の回答の1,2のどちらの場合でも、



(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が通る三つの点
(x、y)が求める円の中心の座標、とすると、

      x1-x2     x1+x2   y1+y2
y = - ―――――(x - ―――――)+ ―――――
      y1-y2       2       2

      x1-x3     x1+x3   y1+y3
y = - ―――――(x - ―――――)+ ―――――
      y1-y3       2       2

のような2つの式ができますね。ここから先の計算は式がぐちゃぐちゃになるので、省略させていただきます。ごめんなさい。
続きはどなたかお願いします。(^^;
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この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時:2002/08/30 10:12

解法はいくつもあると思いますが、とりあえず2つ。



1. 中心Oの座標をO(x0,y0)として、O-a, O-b, O-c の距離が等しいとする連立方程式を解く。
 任意の2点の距離はピタゴラスの定理(a^2+b^2=c^2ってやつ)で求めてください。

2. a-b と b-c (他の組み合わせでもよし)の垂直二等分線を示す式 y=sx+t, y=ux+v をもとめ、その交点の座標を計算する(連立二元一次方程式です)

詳しい式の展開はトライしてみてください。
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この回答へのお礼

どういう風に考えていけばよいかつかめてきました。
ありがとうございました。

お礼日時:2002/08/30 10:07

できますよ。



3点が決定していれば円は一義的に決定しますので。従って、等間隔である必要もなく、唯3点のうちある2点が同一点でなければオッケーです(つまり、3点が別々)。

3点から任意の2点の組み合わせ(とはいっても3組だけ)2組を選んで、それらが作る線分の垂直二等分線の交差する点が中心座標です。中学校の数学ですね
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この回答へのお礼

a-b、b-cの中心から垂直に線を引き、その交点
を求めるっていうことですね。
なんか弧にこだわちゃってそういう発想が出来
ませんでした。
ありがとうございました.

お礼日時:2002/08/30 10:11

三角形abcは正三角形になります。


円の中心は三角形の重心に等しいわけですから
(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3が
中心座標ではないでしょうか。

この回答への補足

説明が悪かったようです。
座標が分かっている円周上の点a,b,cは、
aとbの間 = bとcの間
です。
cとaの間は不定です。
円の内接に正三角形ができるというわけではないんです。
すみません

補足日時:2002/08/29 19:22
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