AKB48の推しメンをセンターにできちゃうかもしれない!? >>

最近大学で断面二次モーメントというのを習ったのですが、教科書には公式しか載っていなく、具体的な計算方法がわかりません。
円(pid^4/64)三角形(bh^3/36)の導出方法を教えてください

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A 回答 (2件)

>具体的な数式を教えてほしいです



底辺b,高さhの三角形の,底辺を軸とした断面二次モーメントIを例とします.
底辺からの距離をxとし,その部分での底辺以外の2本の線分の間の距離をl(x)とすると,

l(x)=b-(b/h)x

ですね.この位置での高さdxの微小長方形の面積をdSとすれば,

dS=l(x) × dx
  =(b-(b/h)x)dx

この微小長方形の断面二次モーメントdIは,

dI=x^2 × dS

従って,上記の三角形の断面二次モーメントIは,積分範囲は0~hで,

I=∫dI
 =∫x^2dS
 =∫x^2(b-(b/h)x)dx
 =(bh^3)/3 - (bh^3)/4
 =(1/12)bh^3

お書きになったのは,図心を通る軸周りの断面二次モーメントの公式だと思われますので,
上記のIを,図心までずらした断面二次モーメントをI’とします.

I’=I-(h/3)^2×bh/2
  =(1/36)bh^3

となります.
図心を通る断面二次モーメントが最小であることに注意して下さい.
(だから上記は「I+・・・」ではなく「I-・・・」となっている.)

同じように,円の場合は,極座標で考えて半径rの位置にある円環の微小面積dSは,
dS=π(r+dr)^2 - πr^2
  =π(r^2+2rdr+dr^2 - r^2)
  ≒2πrdr
となります.ここで高次の微小項(dr^2)は無視しています.
あとはご自分で鍛錬をば.
但しこちらは極座標であることに注意して下さい.
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この回答へのお礼

なるほど、自分でやっても全然計算が合わないと思っていたのはず新を通る軸周りのモーメントということだったのですね^^;円のほうもなんとかできそうです、ありがとうございました

お礼日時:2007/10/31 04:02

微小面積を作って,それを領域で積分します.


円の場合は円環を半径方向に積分し,三角形は微小長方形を積分します.
台形でなく長方形で良いのは,三角形がまっすぐな線分で囲まれているからです.

この回答への補足

具体的な数式を教えてほしいです

補足日時:2007/10/30 17:40
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Q円の断面二次モーメント

半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。

直径(D)から求める場合は
dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
=πDdD
I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64

となるのは理解しました。
D/2=r
なので
上記の結果から
I=πr^4/4
になるのもわかります。

しかし、rからもとめる場合
dA=π(r+dr)^2-π(r)^2
=2πrdr
I=∫y^2dA=∫2πr^3dr=πr^4/2
となってしまいます。

Ip=Ix+Iy
Ix=Iy
なので
Ix=Ip/2
=(πr^4/2)/2
=πr^4/4

となる。
rの場合に上記の理由で1/2するのならば、Dの場合1/2もするのではないのでしょうか?
しかし、Dの場合は1/2すると答えはかわってしまうので1/2しない。
ここがわかりません。
なぜ?
断面二次極モーメントだからと書いてあったのですが、この言葉も知りません。

お願いします。

Aベストアンサー

>半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。

まず断面二次モーメントには2種類あります。ひとつは
「断面の図心を通るx軸やy軸に対する断面二次モーメント」
で、IxやIyと書きます。Ixを求めるには、断面をx軸に平行に切り刻んだ面積をdA、
x軸からそこまでの距離をyとすると、Ix=∫y^2dAとなります。

IxやIyは長方形断面なら求めやすいのですが、円形断面のときはIx(=Iy)を求める
のが面倒なので、もうひとつの、「断面の図心に対する断面二次“極”モーメント」
を先に求めます。これはIpと書きますが、常にIp=Ix+Iyの関係があることを
利用するのです。Ipの定義は、断面を同心円状に切り刻んだ面積をdA、図心から
そこまでの距離(半径)をrとすると、Ip=∫r^2dAとなります。

大事なのは先程とdAの中身が違うということです。ですから、

> I=∫y^2dA=∫πD^3dD=πD^4/64

この書き出しを見て、両者を混同されているのではないかと思いました。また、

> dA=π(D/2+dD)^2-π(D/2)^2
> =πDdD

これもちょっと違います。詳しくは以下を参考にしてください。ちなみに円の面積Aを、A=f(r)=πr^2で表しています。

[rで解く場合]

dA=f(r+dr)-f(r)
 =π(r+dr)^2-πr^2
 =2πrdr

Ip=∫ r^2 dA
 =∫ 2πr^3 dr (積分範囲0~r)
 =πr^4/2
ここにr=D/2を代入すると
 =πD^4/32

[Dで解く場合]

dA=f((D+dD)/2)-f(D/2)
 =π((D+dD)/2)^2-π(D/2)^2
 =(πD/2)dD

Ip=∫ (D/2)^2 dA
 =∫ πD^3/8 dD (積分範囲0~D)
 =πD^4/32
となり、一致しました。しかしrを使ったほうが途中が分数にならないため楽です。

最後に断面二次モーメントIx,Iyは、
Ix=Iy=Ip/2=πr^4/4=πD^4/64

わからなければ補足して下さい。

>半径(r)から求める円の断面二次モーメントがわかりません。

まず断面二次モーメントには2種類あります。ひとつは
「断面の図心を通るx軸やy軸に対する断面二次モーメント」
で、IxやIyと書きます。Ixを求めるには、断面をx軸に平行に切り刻んだ面積をdA、
x軸からそこまでの距離をyとすると、Ix=∫y^2dAとなります。

IxやIyは長方形断面なら求めやすいのですが、円形断面のときはIx(=Iy)を求める
のが面倒なので、もうひとつの、「断面の図心に対する断面二次“極”モーメント」
を先に求めます。これはIpと書...続きを読む

Q台形の重心を求めるには

上底a 下底b 高さ h とした場合、台形の重心をもとめる公式は、 (2a+b)/(a+b)*h/3 でよろしいでしょうか?

Aベストアンサー

計算してみました。
面積
 A=(a+b)h/2
下底周りの断面一次モーメント
 S=a・h^2/2 + (b-a)h^2/6
  =h^2(2a+b)/6

重心位置、S/Aですから、
 G=(2a+b)/(a+b) ・ h/3

合ってますね。

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q断面2次モーメントと断面係数の違い

断面2次モーメントと断面係数の違いなんですが

断面2次モーメントとは、部材の変形のしにくさを表して、断面2次モーメントが大きいと、たわみにくく座屈しにくいことを示す。
それに対して断面係数は、部材の曲げ強さを表し、断面係数が大きいと曲げに対して強いことを示す。

なんですが、思うにたわみにくさと曲げ強さはイコールではないのですか?

断面2次モーメントが大きいと曲げに対しても強い。
断面係数が大きくてもたわみににくい。

とはかならずしもならないのでしょうか?
いまいち区別してる意味がよくわかりません
ご教授くださいませんか

Aベストアンサー

先ず,「曲げ強さ」と「たわみにくさ」から整理しましょう。

     +-- M --+ 
     ↑T        ↓C
P → =------=   →δ
    |A    |   B|
    |   J    J  |
    |          |
(絵が巧く書けません)
荷重(P)によって,曲げモーメント(M)が生じる。
曲げモーメントは,材料の左と右に引張力(T)と圧縮力(C)を生じさせる。
(A)部分(=)は引張強度を超えた時に破壊し,(B)部分(=)は圧縮強度を超えた時に破壊する。

この時,(A)部分の負担する力(T)が同じならば,(A)の面積(=)が大きい程破壊しにくい。又,中心点からの距離(J)が大きいと破壊しにくい。簡単に言ってしまえば,この時の(A)の面積と距離(J)を掛けたものが,曲げ外力に抵抗する抵抗曲げ強度を決めるための係数,即ち,断面係数(Z)です。

つまり,曲げ強度に影響を与える断面係数は,材料の材質,強度,変形などに関係なく,形状と距離だけで決まります。

一方,(A)部分に作用した引張力(T)は,(A)部分を伸ばす,即ち,変形させます。この時の変形量は,フックの法則によって,形状,距離に加えてヤング係数によって決まります。
この時,変形量は断面の外縁が最も大きく,中心位置に近いほど小さくなります。この時の形状の変化率を表すのが断面2次モーメントです。
(A)部分が引張によって伸び,(B)部分が圧縮による縮んだ結果,この材料はδ方向に変形します。この変形量がたわみです。

つまり,断面係数と断面2次モーメントは,公式は似ていますが,断面係数は曲げ抵抗強度に関する量であり,断面2次モーメントは変形率に関する量であって,お互いに全く関連性のない形状に関する係数です。

// たわむ=まがる
は,変形に関するもので,強度とは関係有りませんので,断面2次モーメントにだけ関係する語句です。(たくさん曲がっても=たわみが大きくても,破壊するとは限らない。)

これを踏まえて,

// たとえば
// I>Zの場合だと割り箸のようにたわみにくいけど折れやすく
// I<Zの場合だと釣竿のようにたわみやすいけど折れにくい
// とかだとイメージできるんですが

というのは,上記の断面係数と断面2次モーメントの理屈から言うと,正解とは言えませんが,結果的に,強度とたわみの関係を言い表している,とっても素敵な例として有効だと思います。(今後,私にも使わせてください。)

この例の(I)を,曲げ剛性(EI)と言い換えれば,強度と変形の関係を表す例として完璧かもしれません。つまり,変形=たわみの話をする時,(I)が単独で使われることはなく,常に一組の概念として,曲げ剛性(K=EI)として使われる,と言うことです。

これらの断面に関する諸量は,構造力学や材料力学において,数学的に積分を用いて説明され,イメージとして説明されることはほとんど有りません。ですから,実際に計算する事は出来ても,どのようなイメージかと聞かれると答えに窮して仕舞うのも仕方ない事だと思います。私もその一人ですが・・・

どちらにしても,断面係数と断面2次モーメントの関連性について,1級建築士でもイメージする事が難しい概念ですから,イメージ化して素人に説明するのは,多少無理があると思います。

先ず,「曲げ強さ」と「たわみにくさ」から整理しましょう。

     +-- M --+ 
     ↑T        ↓C
P → =------=   →δ
    |A    |   B|
    |   J    J  |
    |          |
(絵が巧く書けません)
荷重(P)によって,曲げモーメント(M)が生じる。
曲げモーメントは,材料の左と右に引張力(T)と圧縮力(C)を生じさせる。
(A)部分(=)は引張強度を超えた時に破壊し,(B)部分(=)は圧縮強度を超え...続きを読む

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q最大曲げモーメント公式 Mmax=wl²/8 

(左支持荷重×距離)-(左半分荷重×左半分荷重重心)
(P/2×L/2)-(P/2×L/4)
=PL/4-PL/8
=PL/8

どうして(左支持荷重×距離)から(左半分荷重×左半分荷重重心)を引くのか分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

まず、この問題は図1のようにスパンLの単純ばりに等分布荷重wが作用しているときの最大曲げモーメントMmaxを求めるものだと思います。

応力の前にまず反力を求めますが、反力を求めるには、等分布荷重wを集中荷重Pに直してスパン中央に作用させます。これが図2となり、集中荷重Pの大きさはwLとなります。また、反力はPの半分ずつでP/2となります。

最大曲げモーメントは、スパン中央で生じるので、スパン中央で切断して考えますが、図2の反力を求める図を切断して考えると質問者さんのような疑問が生じるのだと思います。

最大曲げモーメントを求めるには、図1の等分布荷重を作用している状態でスパン中央で切断して考えます。これが図3となり等分布荷重が作用している状態となります。

切断した部分の等分布荷重wを集中荷重に置き換えると、図4のようにP/2となり、スパンの半分の半分の位置、つまりL/4の位置に作用することとなります。ここで、スパン中央を中心としてモーメントのつりあいを考えると、質問者さんの式が導き出されます。

Mmax=P/2×L/2-P/2×L/4
=PL/4-PL/8
=PL/8

なお、P=wLより、最大曲げモーメントの公式 Mmax=wL^2/8 となります。

「計算の基本から学ぶ建築構造力学」(著者 上田耕作、オーム社)、
「ズバッと解ける!建築構造力学問題集220」(著者 上田耕作、オーム社)を参考にしました。

参考URL:http://ssl.ohmsha.co.jp/cgi-bin/menu.cgi?ISBN=978-4-274-20856-0

まず、この問題は図1のようにスパンLの単純ばりに等分布荷重wが作用しているときの最大曲げモーメントMmaxを求めるものだと思います。

応力の前にまず反力を求めますが、反力を求めるには、等分布荷重wを集中荷重Pに直してスパン中央に作用させます。これが図2となり、集中荷重Pの大きさはwLとなります。また、反力はPの半分ずつでP/2となります。

最大曲げモーメントは、スパン中央で生じるので、スパン中央で切断して考えますが、図2の反力を求める図を切断して考えると質問者さんのような疑問...続きを読む

Q断面一次モーメントについて。

昔の記事をみたら断面二次モーメントについては見つかり、
距離の二乗と微小面積の積をかけたものの積分というような理解を
したのですが、それ以前に断面一次モーメントがわかりません。
今、材料力学という科目で演習問題を解いているのですが、理解できません。
図心は一次モーメントを断面積で割ったものが一般的ということですが
それすらも何故だかわかりません。

例題として三角形断面の図心cのZ1軸(底辺をx軸方向に伸ばした軸です)
からの位置、図心cを通るz軸に関する断面二次モーメントを求めよ。
という問題を考えています。この三角形の断面一次モーメントが底辺b
高さhとしたときb(h二乗)/6となるみたいですがそれが何故だかが
わかりません・・。

三角形ですから重心は既知ですからこうなるのは納得しますが、積分から
のもってき方がわからないのです。

どなたか教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

#2です。

 問題を積分してみました。
底辺周りの断面1次モーメントを求めてみましょう。
まず、底辺からの距離をxとします。
底辺からxだけ離れた位置の、底辺に平行な線の長さをLとします。
この長さLは、以下の式で表せます。
 L=(h-x)・(b/h)

さて、断面1次モーメントというのは、この長さL(微少な部分の面積)
と距離xを乗じたものを、高さ方向に積分すればいいことになります。

 ΔQ=L・x=(h-x)・(b/h)・x
   =-b/h・x^2 + bx

これをxを0~hまで積分してみましょう。

 Q=∫-b/h・x^2 + bx dx

  =[-(b/3h)x^3 +(b/2)x^2] 0~h

  =-(b/3h)h^3 +(b/2)h^2

  =-bh^2 / 3 +bh^2 / 2

  = bh^2 / 6

となります。

Q単位体積重量と密度の違い

 単位体積重量と密度ってどう違うのでしょうか?

 密度=ρ で、単位体積重量=ρg
 
 というだけで、ただ重力加速度が
 かけられているだけという意味な
 のでしょうか?

 工学関係の教科書を読んでいると、どちらも
 よくでてきますが、意味的になにか違うのでしょうか?

Aベストアンサー

物理屋の siegmund です.

密度は (質量)/(体積),すなわち単位体積あたりの質量です.
質量とは,物質の量.
SI単位なら,kg が単位です.

重さ(重量)は,(通常は地球上で)物体に作用する重力の大きさで,
その物体の質量と重力加速度gとの積に等しい.
力の次元をもった量で,SI単位なら,N(ニュートン)が単位です.
N = kg・m・s^{-2}
したがって,単位体積あたり重量は,N/m^3 がSI単位です.

結果的には質問の文にあるように,両者の違いはgがかかっているかどうかです.

物質を月に持っていくと,物質の量は変わらないので質量は不変ですが,
重力加速度が変わるので重量の方は約1/6になります.

9766 さんの比重はちょっと誤解があるようです.
比重は,ある体積の物質の質量を同体積の標準物質の質量で割ったもの.
固体や液体に対する標準物質は,通常は4℃の水ということになっています.
質量÷質量ですから,比重は単位のない量です.
同じ場所で測ればその物質と標準物質の重さの比をとってもよいので
(gがかかるだけだから,割り算の分母分子でgはキャンセルする),
比重という名がつけられたのです.
水は 1 cm^3 でほぼ1gですから,密度を g/cm^3 単位で表すと,
密度の数値と比重の数値は実用上は同じになります.

物理屋の siegmund です.

密度は (質量)/(体積),すなわち単位体積あたりの質量です.
質量とは,物質の量.
SI単位なら,kg が単位です.

重さ(重量)は,(通常は地球上で)物体に作用する重力の大きさで,
その物体の質量と重力加速度gとの積に等しい.
力の次元をもった量で,SI単位なら,N(ニュートン)が単位です.
N = kg・m・s^{-2}
したがって,単位体積あたり重量は,N/m^3 がSI単位です.

結果的には質問の文にあるように,両者の違いはgがかかっているかどうかです.

物質を...続きを読む

Q長方形断面の断面2次極モーメントについて

長方形断面の断面2次極モーメントIpを調べていくと、サンブナンのねじり定数Jという言葉がでてきます。
使い方がどれも混同してて、よくわかりませんでした。
で、一つ目の質問。

(1)長方形断面の断面2次極モーメントIpのことを、サンブナンのねじり定数Jと言うのですか?

長方形断面の断面2次極モーメントIpの値を知りたいのですが、一般にIp=Ix+Iyとなっています。

(2)a×b断面だとすると、Ip=(ab(a^2+b^2)/12となると思うのですが、これは間違いですか?

Aベストアンサー

私は,サンブナンのねじり定数という言葉は知らないのですが,以下のような意味だろうと推測致します。

(1)回転対称断面の場合,断面2次極モーメント(Ip)は,部材のねじり抵抗係数で,
Ip=∫r^2・dA=Ix+Iy
にて算定します。
ねじりモーメント(Mt)によって,ねじり角(θ)が生じたとすると,ねじり角は,
θ=Mt/(G・Ip)
で算定できます。この時の,
(G・Ip)
は,サンブナンのねじり剛性(torsional stiffness 又は torsional rigidity)と呼ばれる定数です。
ただし,(G)は,剪断弾性係数です。サンブナンのねじり定数というのは,多分,この「ねじり剛性」の事だと思うのですが,如何でしょうか。

(2)長方形断面(axb)の場合,
Ip=Ix+Iy=(a^3・b/12)+(a・b^3/12)
ですので,
Ip=(ab(a^2+b^2))/12
です。


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