
「コンパクト空間の無限集合は必ず集積点を持つ。」を証明する問題で、有限交差性に基づく証明をする際、
「Aをコンパクト空間の無限集合とし、背理法で示す。Aは集積点を持たないとする。{x_1、x_2・・・}⊆Aをとる。各nについてF_n={x_n、x_n+1・・・}とおくと、これは閉集合。F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk=F_n≠φ(n=Max(n_1,n_2・・・,n_k))なので、{F_n}は有限交差性を持つ。しかし、∩_n=1~∞ F_n=φより、これはコンパクトなことに矛盾。」
としてあります。
分からない点は、(1)n=Max(n_1,n_2・・,n_k)で、これはなにを意味するのか?
(2)しかし、∩_n=1~∞ F_n=φとあるが、なぜ、当たり前のように書かれてあるのか?当たり前のことなのか?
以上の二つです。
よろしくお願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(1)n=Max(n_1,n_2・・,n_k)
これは、n が {n_1, n_2 ・・, n_k} の中で
最大の数であることを意味します。
(2) ∩_n=1~∞ F_n=φ
については、
もし、空集合でないならば、ある x_n0 でどの
∩F_nk にも含まれるものがあることになります。
この要素は、最初の集合{x_1、x_2・・・}の中にあります。
この書き方は、この集合が可付番集合(加算無限)であることを
意味する書き方です。
従って、この集合に属する x_n0 には自然数での番号が
付いています。
F_n={x_n、x_n+1・・・} ですので
最初の方からだんだん減っていくので、
x_n0 についている自然数よりもおおきな番号を持つ
F_n={x_n、x_n+1・・・} には x_n0 は入っていません。
従って、共通部分にずっと入っているような要素は存在しない。
無限大まで共通部分を取れば全てがふるい落とされて
結局、空集合になってしまいます。
当然と言えば当然です。
ありがとうございました。たしかに、よくよく考えれば、(2)は当然なのかもしれませんね。
>加算無限 これは可算無限ではないのですよね?
また、(1)でMaxの意味はもちろんわかるのですが、nがn1,n2,・・,nkの最大ということが何を意味するのかがわからないというか。上手く表現できません。。。F_n1とかは、F_nのなんなのかが分からないのです。
No.5
- 回答日時:
(2) ∩_n=1~∞ F_n=φ
に関してはuyama33さんの説明の通り(F_nの定義を用いる)であって、
No4の説明は不備を含みます。但し、
「∩_n=1~∞ F_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる」
は前提条件が正しくない(この共通部分は空だからxは存在しない)
ので結論は何であっての「」内の主張は(たまたま)正しいのですが、、、
しかし、このことはあくまでもこの証明中のF_nに対して成り立つことであって、「」内のみを独立させた命題としたときは一般的には成り立ちません。
No.4
- 回答日時:
(1)の疑問は解決しましたか?
(2)については下で回答された方の説明が少しおかしいので、アドバイスします。
∩_n=1~∞ F_n∋x となる xが存在するとxはAの集積点になる(集積点の定義をよく見て下さい)のですが、仮定によりAには集積点がないのでこのようなxはありません。
実際にはAには集積点があるので、∩_n=1~∞ F_n はAの集積点の集合になるはずです。
どこまで理解されているのか分からないので、この説明で理解されるかどうか分かりませんが。
解答ありがとうございます。(1)の方が少し理解できません。また、なぜ集積点になるのかわかりません。任意のxの近傍Uに対して、(U\{x}) ∩_n=1~∞F_n ≠ φ ですよね??果たして存在するのか??
No.3
- 回答日時:
岩波書店から 位相空間 と言う本が出ています。
著者を忘れました。
厚くて難しそうな本です。
この本では、コンパクトの定義が
この問題の形で書いてあったと思います。
とにかく、コンパクトの定義や
性質をもう一度、本を見て確認して下さい。
No.2
- 回答日時:
可算無限 の意味でした。
文字を間違えました。
補足します。
有限交差性を持つ集合の族を作ったのです。
F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk この共通部分は
この中の、番号が最大なものに一致すると言っているのです。
それが F_n です。
共通部分が、その中の一つに一致するとは限らないのがふつうですが、
F_n の作り方から、一致するのです。
この回答への補足
ということは、「F_n1∩F_n2∩・・・∩F_nk=F_n=φとすると、{F_n}は有限交差性を持つが、∩_n=1~∞ F_n=φとなるので矛盾」ということなんですかね?有限交差性を持つと仮定しても、無限大まで飛ばすと共通分がないということなんですか?
補足日時:2002/08/31 23:32お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
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