ラグランジュの方程式の導き方が良く分かりません。
具体的な使用方法も教えてください。

A 回答 (2件)

ひょっとして↓と同級生の方?



参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=26731
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ラグランジュの方程式と言ったって,


解析力学の話もあるし,流体力学の話もあるし,こまの話もあるし.

例え,解析力学の話にしても,
「よくわかりません」と「具体的使用方法」だけじゃちょっと困っちゃいますよ.
全部書いたら,解析力学の本一冊になっちゃいます.
どこまでわかっていて,どこからわからないかあたりを
明確にしていただかないと....
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Qコブダグラス型効用関数(4つの変数を持つ時)の最適解を教えてください。

経済学のコブダグラス型効用関数の話についてです。

以下のような4つの変数の時,ラグランジュで各変数の最適解は求めるとどのような値になるのでしょうか?
(効用最大化つまりUが最大値を取る時のX1~X4の最適な組み合わせを求める問題です。)

U=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e (b+c+d+e=1)
s.t.X1*P1+X2*P2+X3*P3+X4*P4=V

X1~X4:各財の数量
P1~P4:各財の価格
V:予算制約
A:定数
b,c,d,e:X1~X4に対するパラメーター

一般的な2変数の形(資本K,労働L)だと簡単に理解できるのですが,変数が増えると自信がなくなります(自分の数学の能力の問題だと思うのですが…)。

本当にわからないので焦っています。どなたかわかる方がいらっしゃいましたら御教示下さい。
宜しくお願いします。

Aベストアンサー

ラグランジュ関数が
L(X1,X2,X3,X4;λ)=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e+λ(V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4)
です。これをそれぞれの変数で偏微分して=0とおくわけですから、
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X2=A*c*X1^b*X2^(c-1)*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X3=A*d*X1^b*X2^c*X3^(d-1)*X4^e=0
∂L/∂X4=A*e*X1^b*X2^c*X3^d*X4^(e-1)=0
∂L/∂λ=V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4=0
の5つの式を得ます。この連立方程式をド根性で解けば良いわけです。

ただ、この問題の場合、コブダグラス型効用関数ですし、上の連立方程式を解かずとも答えは出せます。
xi=(対応するパラメータ)*V/(b+c+d+e)Pi (i=1~4) …(1)
です。
b+c+d+e=1
なわけですから、
Xi=(対応するパラメータ)*V/1*Pi (i=1~4)
になります。
なので、答えは
X1=b*V/P1
X2=c*V/P2
X3=d*V/P3
X4=e*V/P4
です。
どうしても、ラグランジュ乗数法を解いて答えなくてはならない場合は、上の連立方程式を解けば同じ答えが出ますが、時間かかるのでおすすめしません。解く必要がないのなら、(1)式覚えちゃいましょう。

ラグランジュ関数が
L(X1,X2,X3,X4;λ)=A*X1^b*X2^c*X3^d*X4^e+λ(V-X1*P1-X2*P2-X3*P3-X4*P4)
です。これをそれぞれの変数で偏微分して=0とおくわけですから、
∂L/∂X1=A*b*X1^(b-1)*X2^c*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X2=A*c*X1^b*X2^(c-1)*X3^d*X4^e=0
∂L/∂X3=A*d*X1^b*X2^c*X3^(d-1)*X4^e=0
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昔理解が浅かった時期に何かの参考書に載っていた記憶はあるもですが思い出せません。。。
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Aベストアンサー

簡単な例ですか。座標系によらない例です。
L=T-V
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熱的に賦活化しないと動けない状態とします。
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一方でT+Vが保存されるとき
V=V-Eaとなります。
L=T-V+2Eaとなります。
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Aベストアンサー

みなさんのおっしゃるとおりですが,

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QExcelで加工の最適解を求めたい

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条件1: 機械は4台あり、それぞれに加工できる部品と1個加工する為の時間が違います。
      詳細は、画像をご覧下さい。
      (「-」は、その機械でその部品の加工ができない事を表します。)

条件2: 最終的に加工しなければならない部品の数は、A~Eとも、おのおの違います。
      (例の場合だけでなく、100~5000程度の間で、日によってバラバラな値です。)

条件3: 部品が変わる場合の設定変更の時間は考慮しなくてかまいません。

条件4: 一つの機械では同時に複数の種類の部品を加工できません。

条件5: 複数の機械で同じ種類の部品を同時に加工できるだけ材料に余裕があります。


Excelを用いて、それぞれの機械が(ほぼ)同じ時間稼働するように、
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どのような計算式にすればよいでしょうか。


極力、マクロ、ゴールシーク、ソルバーを使わないでワークシート上の計算式のみで
できるものを教えて頂きたいです。

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条件1: 機械は4台あり、それぞれに加工できる部品と1個加工する為の時間が違います。
      詳細は、画像をご覧下さい。
      (「-」は、その機械でその部品の加工ができない事を表します。)

条件2: 最終的に加工しなければならない部品の数は、A~Eとも、おのおの違います。
      (例の場合だけでなく、100~5000程度の間で、日によってバラバラな値です。)

条件3: 部品が変わる場合の設定変...続きを読む

Aベストアンサー

> 機械No.2では、A・B・Cを同時に加工する事はできないので、

だと、問題の条件を勘違いしていました。
そうなると、ちょっと条件のややこしいナップザック問題になると思います。
この手の問題は、解析的に解くのは難しいのが知られています。

質問の例なら、例えば部品B,Cを作るのは機械No.2だけですからとっかかりはありますが、一般化した場合には厳しいです。

計算式だけって事だと、目標値に収束するような逐次計算をシートの行を使って行うとかでしょうが、ちょっと条件ややこしいので、ちょっとお手上げです。

Qシュレディンガー方程式の具体的な使い方

電子が原子核からどのくらいの距離にあるかを知りたいとき、シュレディンガー方程式を使って解けると書いてあったのですが、具体的にはどのようにすれば答えがわかるのですか?
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Aベストアンサー

おそらくシュレーディンガー方程式を解いて電子の存在確率が高い場所を求めるという意味だと思いますが,
その場合,ハミルトニアンのポテンシャル部分にクーロンポテンシャルを入れて波動関数を求めます.
同然ながら,Φ(x,t)=Ae^i(kx-wt)のような簡単な解にはなりません.
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適当な量子力学の教科書を見て先人の知恵を借りてください.

Q現場で使う簡単な表計算の最適解は?

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私が思いつくのは、
1.スマートフォンに簡単な表計算ソフトを入れる(維持費が高そう!)
2.携帯にもそういう機能を持った機種があるかもしれない(現在SoftBankです)
3.高機能電卓を使う(よく知りません)
です。

皆様のご提案をお聞きしたく、宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

WillcomのW-ZERO3なら簡単なんですけどね・・・。

まあ、安いアンドロイド携帯(スマホ)にして、
こういうのを入れるのが正解でしょうね。
最近、スマホも旧モデルなら安くなってますし。
http://androme.net/android-application1074.html

Qラグランジュ方程式における一般化力

ラグランジュ方程式において一般化力に摩擦力は入りますか?
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また,一般化座標が何個かあるときそれぞれに対応する一般化力とはどのように決めるのですか?

Aベストアンサー

>一般化力とはどのように決めるのですか
力Fが、仕事をした時、エネルギーの変化dwは、
   dw=F・dr       ただし F・dr は、ベクトルの内積
     =Fxdx1+Fydx2+Fzdx3
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   dx i = ∂x i/∂q1 dq1 + ∂x i/∂q2 dq2 + ∂x i/∂q3 dq3
      =Σ[j=1to3] ∂x i/∂q j dq j
あとの計算は、以下を見て下さい。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61332033.html

>粘性摩擦は消費エネルギーになります.同じ摩擦力なのにどうして違うのですか?
上を見ればわかるように、一般化力は「エネルギーの変化」で
定義されるので、同じです。
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を混同しないように。

Qラグランジュの未定乗数法とKKT条件

minimize:f(x)
subject to:gi(x)<=0 (i=1,…,m)
m=100
という非線形最適化問題があった場合。
ラグランジュも未定乗数法を用いて、
F(x,λ)=f(x)-λg(x)
とし、これをパラメータであるx,λで偏微分することにより最適解がえられるとおもいますが、、
m=100であり、gにはいる制約を選択する必要がある場合はどのように選んだらよいでしょうか。
現在、適当に入れていき最終的にKKT条件を満たした解を最適解としていますがいかがでしょうか。

Aベストアンサー

KKT条件を知っているようですね。
ならば、相補性条件についてはご存知でしょう?
有効制約を選択するのは難しいので、
全ての制約をラグランジュ関数に入れて済ます為に
相補性条件を付加するのです。
その為のKKTです。
m が大きくて計算が手に余るなら、
数式処理ソフトウェアにでも頼るしかありません。

もちろん、考えてエレガントに制約選択ができ、
手計算にかなう個数まで減らせるならば、
紙の上でラグランジュ法を行うことができます。

Q波動方程式の導き方

電磁気学に関する質問です。次のように、z方向に伝搬定数βで進行し、角周波数ωで進行する波について

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直交座標系(x,y,z)における波動方程式と円筒座標系(r,φ,z)における波動方程式を求めたいです。
(1),(2)式をマクスウェルの法則に代入して、x,y,z成分に関する式を求めて、式変形によりEx,Ey,Hx,HyをそれぞれEz,Hzを用いて導く事はできました。その後、どのような計算方法で波動方程式を求めればいいのかわかりません。できるだけ計算過程を詳しく教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルは↑で表すことにします.

ポイントアドバイス
1.rotE↑=-∂B↑/∂tという式の両辺にrotを作用させる.
2.左辺にrotrotA↑=graddivA↑-∇^2A↑という公式を使う.
3.右辺にrot(φA)=φrotA↑+gradφ×A↑という公式を使う.

4.のちのちdiv(φA↑)=φdivA↑+A↑・gradφという公式をdivD↑=div(εE↑)に適用する場面があるでしょう.
これらをヒントに頑張って下さい.
これで,直交座標系の波動方程式が導けます.円筒座標系にするには,ラプラシアン∇^2を円筒座標系のラプラシアンに変換すればできると思います.


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