痔になりやすい生活習慣とは?

つい最近i^iを知り、感動したのですが、その後でx^iの微分に興味が湧きました。
学校の先生はマクローリン展開を使えば出来る、などと言っていたのですが、イマイチよくわかりません。
解説お願いします。

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A 回答 (5件)

あなたの悩みがそのまま小説になったようなものがあります。


参考URLの[第三章 数学者]がそれですが、x^iというものを思いついてしまった数学嫌いな高校生が、その謎を探求して大発見するという、数学のおもしろさとエッセンスが詰まった傑作です。

参考URL:http://www.exfiction.net/tsuzurai/bungei/mubino- …
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そもそも複素関数としてのz^αの定義は、e^(αlogz)です。


logが無限多価なので、z^αも無限多価になります。
(主値を考えれば1価関数です。)
主値をとれば、log(i)=log|i|+i・arg(i)=πi/2だから、
i^i=e^(i・log(i))=e^(i・πi/2)=e^(-π/2)
などもわかります。
logも指数関数の逆関数として定義されるものであり、三角関数も指数
関数を使って定義できるので、指数関数が最も基本的かつ重要な関数
であると言えると思います。
三角関数の加法定理なども、指数関数の指数法則に集約されてしまいます。
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i は虚数単位でしょうから,二項展開はアウトです>NO.1さん



x^i の導関数は ix^{i-1} でいつものものです.
無限多価ですが導関数は変わりません.証明も簡単です.

cを任意の複素数とする.
z^c を z で微分することを考える
z^c = e^{c log(z)} であることを考えて
{z^c}' = e^{c log(z)} {clog(z)}'
= c/z e^{c log(z)}
= (c/z) z^c
= c z^{c-1}
証明終.
合成関数の微分に過ぎません.
したがって

>学校の先生はマクローリン展開を使えば出来る、

マクロリン展開はほとんど関係ありません.
もちろん,複素数の複素数乗を定義するときに
オイラーの公式を使い,オイラーの公式の証明には
マクロリン展開が使われるという意味では
「使えば出来る」のですが,これは不適切なヒントです.
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この回答へのお礼

綺麗な証明に拍子抜けしました
こんな単純だったのか・・・
ありがとうございます。

お礼日時:2007/11/03 11:47

ちょっと確かではないんですが、


a,bを複素数としたとき、
a^b = exp{b*log(a)}
だから、xが実数でも成り立つはずだから、
x^i = exp{i*log(x)}
となって、xで微分すると、
(i/x)*exp{i*log(x)}
でいいのかどうかは、ちょっと確認してません。。。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2007/11/03 11:44

y=x^n の微分が、y'=dy/dx=d(x^n)/dx=n*x^(n-1) になる証明は、



Δy=(x+Δx)^n-x^n に二項定理を用いると、

Δy=x^n+nx^(n-1)Δx/1!+n(n-1)x^(n-2)(Δx)^2/2!+・・・・・・
   +(Δx)^n-x^n

∴ Δy/Δx=nx^(n-1)+n(n-1)x^(n-2)Δx+・・・・・・+(Δx)^(n-1)

∴ y'=limΔy/Δx=nx^(n-1) です。
・・・・ Δx→0

よって、一例として、y=x^3 の微分は、y'=3x^(3-1)=3x^2 になります。
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この回答へのお礼

夜遅くにありがとうございます。

お礼日時:2007/11/03 11:40

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Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q虚数の入った積分

微分するときは虚数が入っていても定数のように扱えるわけですが、積分の場合はどうなのか知りたいので質問させていただきました。
たとえば以下のような場合です。
∫i*cosxdx (積分範囲は0から2π)
この場合微分のときと同じようにiを定数として扱えばよいのでしょうか?それとも複素積分?というものを使わないといけないのでしょうか?
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

積分した関数を微分すると元に戻ります。(微分積分学の基本定理)

∫i*cosxdx=i*∫cosxdx=i*sinxとなります。
では、確認のためにi*sinxを微分してみます。
微分するとき虚数が入っていても定数のように扱えるということをご存知ですね。
(i*sinx)'=i*cosxとなり∫i*cosxdxの被積分関数に一致します。

結論

積分の場合も微分の場合と同様に虚数を定数のように扱えます。
数学の場合大抵、双対性という性質があり、この場合微分と積分の双対性により、自然に導かれるのです。

Q円の接線が半径に対して垂直になることの証明

円の接線が半径に対して垂直になるのはわかるんですけど
証明がいろいろ探してみたんですがどうしても見つかりません
誰か教えてください

Aベストアンサー

単純に考えてみました。
背理法を用いて、円の接線が半径に対して垂直じゃないものと仮定します。・・・(1)

円の中心をOとして、円周上の接点をAとして、Aでの接線をABとして、
OからABに下ろした垂線とABとの交点をCとします。
ここで垂線を引き、AとCが一致しないところに、(1)の仮定を使っています。
三角形OACを考えると、直角三角形の斜辺と他の一辺なので、OA>OC・・・(2)
円の定義を考えると、(2)より点Cは半径OAの円の内側にある。
よってACつまりABは接線ではない。・・・(3)

(3)は仮定に矛盾するので、(1)が誤っている。よって接線は半径に対して垂直である。

あれ?「接線」の定義が最後に(3)で必要となってしまいました。でも自明でしょうか..
数学的には厳密じゃないかもしれませんが、直感的にわかりやすいのではないかと思います。

Qeの微分の公式について

e^xの微分はe^xですが
e^f(x)の微分はf'(x)e^f(x)でいいのでしょうか?
ネットで調べたのですが、e^xの微分の公式の説明ばかりだったので教えてください

Aベストアンサー

あってますよ。
普通に検索すると、確かに見つけにくいですね^^
http://www-antenna.ee.titech.ac.jp/~hira/hobby/symbolic/derive.html