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u=U0 + ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・
v=V0 + ε*V1 + (ε^2)*V2 + (ε^3)*V3 + ・・・・・ という形で
表せる時、(4uv)/(1+u^2) はどのようになるかを考えたいのですが、
ただ闇雲に代入するだけだと複雑になってしまいます。これをなるべく
分数の形を使わずに表したいのですがどうすればよいのでしょうか。
個人的には 与式= ~ + ε(~~) + ε^2(~~~) +ε^3(~~~~) + ・・・・・
というような形に直せると助かるのですが。
テイラー展開を利用するのでしょうか?すみませんがどなたか教えてください。

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A 回答 (6件)

指数を使うため U1、U2 などを U_1、U_2 などと書くことにします。



u=Σ[i=0→∞]ε^i・U_i
v=Σ[i=0→∞]ε^i・V_i
1+u^2=1+{Σ[i=0→∞]ε^i・U_i}^2
=1+Σ[i=0→∞;j=0→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j
これを、1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j などと書くことにします。
4uv=4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・V_j

∴(4uv)/(1+u^2)
={4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・V_j}/{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j}

これが、k_0+k_1・ε+k_2・ε^2+・・… となったとすると、つまり、
(4uv)/(1+u^2)=k_0+k_1・ε+k_2・ε^2+・・… であれば、係数k_nは
(4uv)/(1+u^2)をn回微分して、ε=0とおくことにより求められます。
例えば、
k_0
=(4uv)/(1+u^2)|(ε=0)={4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・V_j}
/{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j}|(ε=0)
=4・U_0・V_0/(1+U_0^2)
k_1
={(4uv)/(1+u^2)}'|(ε=0)=〔{4・Σ[i+j=1;i+j→∞](i+j)ε^(i+j-1)・U_i・V_j}
・{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j}-{4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・V_j}
・Σ[i+j=1;i+j→∞]ε^(i+j-1)・U_i・U_j}〕/〔{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+j)・U_i・U_j}^2〕|(ε=0)
={4・(U_0・V_1+U_1・V0)・(1+U_0^2)-(4・U_0・V_0)・2・(U_0・U_1)}/[{1+(U_0^2)}^2]
={(U_0・V_1+U_1・V0)・(1+U_0^2)-(U_0・V_0)・2・(U_0・U_1)}/[{1+(U_0^2)}^2]
……
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変そうではありますが、少しずつ理解していきたいと思います。

お礼日時:2007/11/07 19:16

一般に、εに関するマクローリン展開が


f(ε)= a[0]+(a[1]/1!)ε+(a[2]/2!)(ε^2)+…
で与えられる関数f(ε)において、fのn階微分にε=0を代入したものは、a[n]になる。つまり、fは数列a[n]を作り出す母関数です。

この仕組みに素直に従えば、
f(ε)=4uv/(1+u^2)
とおいて、そのn階微分にε=0を代入すれば、a[n]が計算できます。

じゃあやってみましょう。まず0階微分でε=0とすれば、
f(0)=a[0]=4U0V0/(1+U0^2)
次に、εによる1階微分は
f'=4(u'v+uv')/(1+u^2)-8(u^2)u'v/((1+u^2)^2)
ε=0を代入すれば、
f'(0)=a[1]=4(U1V0+U0V1)/(1+U0^2)-8(U0^2)U1V1/((1+U0^2)^2)
んじゃεによる2階微分。
…え?
や、やるんですか?まじで?いやー、とてもやってらんないなあ。もっとシステマティックにやりたいですね。

そしたら、どうしましょうかね。
u=tanθ
と変数変換してみましょう。uがεの関数なので、θもεの関数であることにご注意ください。すると
1/(1+u^2)=(cosθ)^2
だから
f=4(tanθ)v((cosθ)^2)= 4v(sinθ)(cosθ) = 2v(sin2θ)
と表せます。

f=2v(sin2θ)
f'=2v'(sin2θ)+4vθ'(cos2θ)
 一般に、εによるfのn階微分を(f^(n))と表すことにすると
(f^(n)) = A[n](sin2θ)+B[n](cos2θ)
という形をしているから、漸化式
A[0]=2v, B[0]=0
A[n+1]= (A[n])'-2B[n]θ'
B[n+1] = (B[n])'+2A[n]θ'
が得られます。これで(f^(n))をvやθの導関数で表すことができました。

 次に、θのn階微分 (θ^(n)) をuやuの導関数で表すために
u=tanθ
を使って計算する必要があります。両辺をεで微分すると
u'= θ'/((cosθ)^2)
なので、
θ' = u'((cosθ)^2)
θ''= u''((cosθ)^2)-u'θ'(sin2θ)
θ'''= u'''((cosθ)^2)-u''θ'(sin2θ)-(u''θ'+u'θ'')(sin2θ)-2u'θ'(cos2θ)
= u'''((cosθ)^2)-(2u''θ'+u'θ'')(sin2θ)-2u'θ'(cos2θ)
てな具合です。そこで
(θ^(n)) =C[n]((cosθ)^2)+D[n](sin2θ)+E[n](cos2θ)
とすると、C, D, Eを漸化式で書くことによって、 (θ^(n)) を uの導関数とθ'~ (θ^(n-1)) で表せますね。
C[1]=u', D[1]=0, E[1]=0
C[n+1]=(C[n])'
D[n+1]=(D[n])'-C[n]θ'-2E[n]θ'
E[n+1]=(E[n])'+2D[n]θ'
 最後にA,B,C,D,Eの一般項が分かれば完璧なんですが、それは私がめんどくさいので、ここまでということにします。

 ところで、(ANo.4に書いたように)もしU0=0だったとすると、ε=0のとき(u=0だから)θ=0。従って、ε=0のとき
(f^(n))=B[n] = a[n]
(θ^(n)) =C[n]+E[n]
と言う風にだいぶ簡単になります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変そうではありますが、少しずつ理解していきたいと思います。

お礼日時:2007/11/07 19:16

stomachmanさんの言われるように、極めて簡単になるようです。

始めの二つの項だけですが計算しました。

U_0=0 だと、
(4uv)/(1+u^2)
={4・Σ[i+j=1;i+j→∞]ε^(i+1+j)・U_(i+1)・V_j}/{1+Σ[i+j=2;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)} となります。

以下の< >はコメント行と思って下さい。(複雑なので、区切って計算しています)

k_0 は、
k_0=(1/0!)・(4uv)/(1+u^2)|(ε=0)={4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j)・U_(i+1)・V_j}

   < {4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j)・U_(i+1)・V_j}   
      {4・ε・U_1・V_0}|(ε=0)=0 >

/{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}|(ε=0)

   < {1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}
   < {1+ε^2・U_1^2}|(ε=0)=1 >

={4・εU_1・V_0/(1+ε^2・U_1^2)}|(ε=0)=0

k_1 は、
k_1={(4uv)/(1+u^2)}'|(ε=0)=(1/1!)・〔{4・Σ[i+j=1;i+j→∞](i+1+j)ε^(i+1+j-1)・U_(i+1)・V_j}

   < {4・Σ[i+j=1;i+j→∞](i+1+j)ε^(i+j)・U_(i+1)・V_j}
      {4・2・ε・(U_2・V_0+U_1・V_1)}|(ε=0)=0 >

・{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}

   < {1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}
      {1+ε^2・(U_1)^2}|(ε=0)=1 >

-{4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j)・U_(i+1)・V_j}

   < -{4・Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j)・U_(i+1)・V_j}
      -{4・ε・U_1・V_0}|(ε=0)=0 >

・Σ[i+j=1;i+j→∞](i+1+j+1)ε^(i+1+j+1-1)・U_(i+1)・U_(j+1)}〕

   < Σ[i+j=1;i+j→∞](i+1+j+1)ε^(i+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}
      {3・ε^2・(U_2・U_1+U_1・U_2)}|(ε=0)=0 >

/〔{1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}^2〕|(ε=0)

   < {1+Σ[i+j=0;i+j→∞]ε^(i+1+j+1)・U_(i+1)・U_(j+1)}^2
   < {1+ε^2・U_1・U_1}^2|(ε=0)=1 >

=〔[{4・2・ε・(U_2・V_0+U_1・V_1)}・{1+ε^2・(U_1)^2}-{4・ε・U_1・V_0}・{3・ε^2・(U_2・U_1+U_1・U_2)}]/{1+ε^2・U_1・U_1}^2〕|(ε=0)=1
∴(4uv)/(1+u^2)=0+1・ε+・・・・ 
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もしもU0=0だったりすると、かなり簡単になりそうだけどなあ。

そういうことってありませんか?
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#2です。


係数k_nは
(4uv)/(1+u^2)をn回微分して、「nの階乗、n!で割った後」、ε=0とおくことにより求められます。
と訂正させて頂きます。
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1/(1+x)=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+.....


のテーラー展開を利用。
1/(1+u^2)
の分母をO(1)+O(ε)に分解する
1+u^2={1+(U0 + ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・)^2}
=1+U0^2+2U0{ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・}
+{ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・}^2
=(1+U0^2)*
[1+2{ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・}U0/(1+U0^2)
+{(ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・)/(1+U0^2)}^2
W=2{ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・}U0/(1+U0^2)
+{(ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + ・・・・・)/(1+U0^2)}^2
とおけば、
1/(1+u^2)=1/(1+U0^2)*{1-W^2+W^4-W^5+....}
uv/(1/+u^2)
=1/(1+U0^2)*(U0 + ε*U1 + (ε^2)*U2 + (ε^3)*U3 + .....)
×(V0 + ε*V1 + (ε^2)*V2 + (ε^3)*V3 + ・・・)×{1-W^2+W^4-W^5+...}


これを展開してεの項をまとめれば
与式= ~ + ε(~~) + ε^2(~~~) +ε^3(~~~~) + ・・・・・
になる。
(めんどくさいのは、分母のUが微小量じゃないので
いきなり展開できないこと)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
大変そうではありますが、少しずつ理解していきたいと思います。

お礼日時:2007/11/07 19:14

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