出産前後の痔にはご注意!

看護学校の入試の過去問の件で質問です。


三角形ABCにおいて、sin^2 A+sin^2 B=1,sin^2 B+sin^2 C=1 である。
(1)sin A=sin B であることを証明せよ。
(2)∠Bの大きさを求めよ。


という問題です。
(1)はすんなり証明できたのですが、(2)が解けません。条件が不足しているのか?等と考えましたが、図もありませんし、Bを求めることができません…。

解ける方がいらしたら、お教え願えたらなと思います。

A 回答 (4件)

1つ質問ですが問題文は合っていますか?


この問題だと,sinA=sinBは出てこないと思うのですが。
sin^2 A+sin^2 B=1 …(1) , sin^2 B+sin^2 C=1 …(2)
(1)-(2)より,
sin^2A-sin^2C=0
すなわち、(sinA+sinC)(sinA-sinC)=0
したがって,sinA=sinC …(3), sinA=-sinC…(4)
sinA>0, sinC>0 より(4)は不適切
したがって,sinA=sinC

sinA=sinC より A=C の二等辺三角形
したがって,B=180-2A (0<A<90)
sinB=sin(180-2A)=sin2A=2sinAcosA

(1)に代入して
4sin^2(A)cos^2(A)+sin^2(A)-1=0
4sin^2(A)cos^2(A)-cos^2(A)=0

見にくいのでcosA=P,sinA=Q と置きます。
4P^2Q^2-P^2=4P^2(Q+1/2)(Q-1/2)=0

0<A<90 よりP≠0 よって,Q=1/2 となります。

sinA=1/2 より A=30° A=C だから C=30° また,B=120°
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(1)


sin^2 A+sin^2 B=1…(A)
sin^2 B+sin^2 C=1…(B)

(A)-(C)から
sin^2 A -sin^2 C =(sin A -sin C)(sin A +sin C)=0
三角形の角は0°より大きく180°より小さいから
sin A ≠-sin C 
したがって
sin A +sin C≠0
∴ sin A= sin C
0<A+C<180°から
∴ A=C<90°…(C)
B=180°-(A+C)より
sin B=sin(A+C)=sin(2A)=2sin A *cos A…(D)
(A)に代入
sin^2 A +4 sin^2 A *(1-sin^2 A)=1
4sin^4 A -5sin^2 A)+1=0
(2sin A -1)(sin A -1)(2sin A +1)(sin A +1)=0
0<A<180°で sin A>0だから
sin A=1/2 または sin A=1
(C)から, sin A≠1
sin A=1/2
∴A=C=30°
B=180°-(A+C)=120°⇒(2)の答
∴ sin B=√3/2
したがって
sin A≠sin B

>(1)sin A=sin B であることを証明せよ。
>(1)はすんなり証明できたのですが、
成り立たないものがどうして証明できたのでしょうか?
(1)の sin A= sin B
は成立しませんね。問題ミスでしょうね。

sin A= sin Bが成立しない証明。

sin^2 A+sin^2 B=1…(A)
sin^2 B+sin^2 C=1…(B)
仮に sin A= sin B …(E)とすると
(E)を(A)に代入
2sin^2 A=1
sin^2 A=1/2
sin A=1/√2
A=45°または A=135°
sin B=1/√2 …(F)
0°<A+B<180°から
∴ A=B=45°…(G)
(F)を(B)に代入
1/2 +sin^2 C=1
sin^2 C=1/2
sin C=1/√2 …(H)
(G)から
C=180°-(A+B)=90°
sin C=0…(I)
(H)と(I)は矛盾する。
したがって
(E)つまり(1)の関係は成立しない。
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(1)


問題文のsin^2 A + sin^2 B = 1 , sin^2 B + sin^2 C = 1 が正しいならば、sin A = sin B ではなくて、sin A = sin C ですね。
sin^2 A + sin^2 B = 1 , sin^2 B + sin^2 C = 1 より、
sin^2 A = sin^2 C
0 < A,C <π より、sin A > 0, sin C > 0 なので sin A = sin C ( >0 )
(2)
sin A = sin C より、A = C または A = π - C であるが、A+B+C = π (三角形の内角の和)よりA = π - CはB = 0となり不可
よってA = C ( < π/2 )
三角形の内角の和よりB = π - A - C = π - 2 A 。これをsin^2 A + sin^2 B = 1 に代入して解くと、
sin^2 A + sin^2(π- 2A) = 1
(sin(π-2A)= sin(2A) = 2 sinA cosA より)
sin^2 A + 4 sin^2 A cos^2 A = 1
1 - cos^2 A + 4sin^2 A cos^2 A = 1
cos^2 A ( 4sin^2 A - 1 ) = 0
A<π/2よりcos^2 A ≠ 0 だから
4sin^2A = 1
sinA>0よりsin A = 1/2
A<π/2よりA=π/6 ( = 30°)
B = π - 2A = 2π/3 (=120°)
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2式を引いて、(sin(A)+sin(C))(sin(A)-sin(C))=0 と(1)から、


sin(A)=sin(B)=sin(C)

この回答への補足

大変な間違いをしていました…
(1)の問題は「sinA=sinCを証明せよ」でした…

大変申し訳ありません。

補足日時:2007/11/07 14:51
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