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反射律・対称律・推移律

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  • 質問者：cosmopapa
  • 質問日時：
  • 回答数：4件

お世話になります。数学大嫌い男です。
やや数学っぽい本を見ていたら、反射律・対称律・推移律というのが書いてありました。
しばらくいくと次の問題がありました。

問「対称律と推移律が成り立つとき、対称律によって a～b ならば b～a,したがって推移律によって a～a となって反射律が成り立つという論法は誤りであることを説明せよ」

答「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」

私にはチンプンカンプンです。
答も何を言っているのかわかりません。
だって本には簡単にしか書いてません。反射律・対称律・推移律の定義を私がよく分かっていないのかな？

どなたか分かる人がいらっしゃいましたら、お教えください。
数学嫌いの私でも分かるように、よろしくお願いいたします。

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A 回答 (4件)

No.1ベストアンサー

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

あぁ, 確かにひっかかりますね....


この問題を理解するためにはもちろん「反射律」, 「対称律」, 「推移律」を理解しなければならないんですが, 根底には「数学における『ならば』の意味」というポイントがひそんでいます.
日常での「A ならば B」という表現では, 「A が成り立たないとき」は考えていません. しかし, 数学における「A ならば B」は, 「A が成り立っているときには B も成り立つ」, つまり「A が成り立っていないときには B が成り立つかどうかに関係なく『A ならば B』は成り立つ」と解釈します. この, 日常と数学における「ならば」の意味の違いをきちんと理解しなければなりません.
さて, その上で「どの要素も (自分自身を含めて) どの要素とも関係を持たない」という関係 (日常用語では「関係」とはいわないけど, 数学ではこれも「関係」とみなします) を考えてみましょう.
まず対称律: 「全ての a, b に対し a～b ならば b～a」について考えます. 今考えている関係では, どの要素に対しても a～b は成り立ちません. このことから「全ての a, b に対し a～b ならば b～a」は成り立ってしまいます. ということは, この関係は対称律を満たします.
次に推移律: 「全ての a, b, c に対し a～b かつ b～c ならば a～c」ですが, これも同じように考えると満たしていることがわかります.
最後に反射律: 「全ての a に対し a～a」ですが, これは明らかに成り立ちません.
結局, 対称律と推移律では「ならば」を使っているのに対し反射律では「ならば」が出てこないことが差異として現れています.

う～ん, わかりづらそうだ.... どこがわからないか書いてもらえれば, 詳しく説明するかもしれません.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
うーん、うーん、日本語で書いてあるのに、む、難しい！
・・・・・
理屈はよく分かりませんが、定義は

反射律:全ての a に対し a～a
対称律:全ての a,b に対し a～b ならば b～a
推移律:全ての a,b,c に対し a～b かつ b～c ならば a～c

であって、問の文は

「全ての a,b に対し(a～b ならば b～a)」
「全ての a,b に対し((a～b かつ b～a) ならば a～a)」
の２つのことから
「全ての a に対し(a～a)」
は導かれないことを説明せよ。

ということで、答の文は

関係～を満たすaについては(a～a)であるけども
「全ての a に対しては(a～a)」ではないよ。

と言っているのかなぁ？

と書きながら、自分で何を言っているのかよく分からないまま書いている数学大嫌い男でした。
あ～あ、だめだこりゃ。

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お礼日時：2007/11/15 16:06

No.4

  • 回答者： hugen
  • 回答日時：

a～b ならば b～a 　　　　　-------------------(1) [対称律]


a～b ならば a～b 　　　　 -------------------(2)
(1) (2) より
a～b ならば ( a～b かつ b～a )　　　　　-------(3)
また,
( a～b かつ b～a ) ならば a～a　　　　　-------(4) [推移律より]
(3)(4) より
a～b 　ならば a～a　　　　　　　
----------------------------------------
これは、「a～b が成り立てば」という条件付きです。
a～b が成り立たない場合、　a～a　が成り立つことは　保証されない。

a～b を成り立たせる b が無い場合、
全ての b で　a～b　が成り立たないから
特に、　 b ＝a の場合として　　　　a～a　が成り立たない。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「あるaとb」や「全てのa,b」が出てこない分、ほっとします。
結局、対称律と推移律からは「a～b ならば a～a」しか言えない、ということなんですね。
このことを他の回答者さんも更に詳しく説明して下さってたわけですね。

どうもありがとうございました。

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お礼日時：2007/11/16 19:03

No.3

  • 回答者： tinantum
  • 回答日時：

反射律は，


「全てのaはa～aを満たす」
ことです．
よって，反射律を証明したい場合は，全てのaに関してa～aを示さなくてはなりません．

これに対して，対称律をわかりやすく言い直すと
「あるaとbがa～bという関係を満たすならば，b～aも成立する」
というステートメントですので，全てのaに対して対称律を適用することができません．つまり，適当にとったaがとあるbと関係a～bを満たすとは限らないため，対称律を適用することができないのです（逆にいうと，とあるbと関係a～bを満たすようなaに関しては，対称律と推移律を用いて，a～aが証明できることにはなります．このことを，答にある「問題の論法は関係のついている元ａだけについて a～aを言ったにすぎない」と言っているのでしょう）．

具体的な～の例を挙げます．
3つの要素しかない集合{ｘ，ｙ，ｚ}に
下の図のように，x～yという関係を満たす場合は○，満たさない場合は×を用いて関係～を表してみました．
＼　ｘ　ｙ　ｚ
ｘ　×　×　×
ｙ　×　○　○
ｚ　×　○　○
（つまり，関係を満たすのは，ｙ～ｙ，ｙ～ｚ,ｚ～ｙ,ｚ～ｚの４つの場合のみです．）
これは，対称律も推移律も満たしていることはすぐに確認できます．
ところが，"ｘ～ｘ"は成立していないので，反射律が成立していない例となっています．（ｘはどの元とも関係を持たない場合なので対称律が適用できないわけです）
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「あるaとb・・・」ですかぁ。
「全てのa,bに対して・・・」しか頭になかったので、ますます混乱！

分からん！難しい！
せっかくの回答なのに理解できなくてすいません。

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お礼日時：2007/11/16 18:54

No.2

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

「問の文は～」のところは OK.


答えの方は, 「関係～を満たす a については」というのがちょっと曖昧です. ここは「a～b となる b が存在するような a に対しては」と, きちんと書いてあげるべきかと思います.
いずれにしても, 日常で使う「ならば」と数学用語としての「ならば」を, きちんと区別できれば結論にたどりつけるはずです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

＞「a～b となる b が存在するような a に対しては」

こんなふうに考えなければいけないんですか。
数学のできる人の頭ってすごいものですねぇ。
数学大嫌い男はもう限界ですので、ここらで引き下がります。
どうもありがとうございました。

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お礼日時：2007/11/16 18:37

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(3) f: R→R, f(x) = sin x
　sin x は周期関数ですから，たとえば x = 0，π，2π，... と無限に多くの x に対し f(x) が同じ値になります．だから単射ではありません．
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　f(x) が単調増加ですから単射です．つまり一つの f(x) に対してもとの x が二つ以上定まるということはありません．
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(5) f: R→R, f(x) = 2x +1
　全単射です．f(x) は単調に全実数をわたるから単射かつ全射です．

(1) f: Z→N, f(x) = x^2
　x = 1，-1 に対し f(x) はどちらも 1 ですから，単射ではありません．
　また N の元 2 に対する Z の元が存在しない (f(x) = 2 になるような整数がない) ため全射でもありません．
　
(2) f: R→R, f(x) = 2^x
　f(x) は単調増加ですから単射といえましょう．つまり x = 5 が与えられたら f(5) = 32 ですし，f(x) = 32 が与えられたらそのような x は 5 しかありません．
　また全射ではありません．R への写像となっていますが，f(x) = 0 や負になるような x がないからです．
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ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間［０，∞）で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間［０，∞）で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
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を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0　∀α∈[a,b)　∃δ>0 　∀x（|x - α| < δ ⇒ ｜f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0　∃δ>0　∀α∈[a,b)　∀x（|x - α| < δ ⇒ ｜f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0　∀δ>0　∃α∈[a,b)　∃x（|x - α| < δ かつ ｜f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。（論理式の変形規則についてはご存知でしょうね）

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間［０，∞）で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを１つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
｜f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。　　　　　　　　　　■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
（１）一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
（２）実は先生もわかってない（まさかね^^;）
（３）一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで（間違いではあるものの）一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間［０，∞）で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間［０，∞）で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む

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Aベストアンサー

>反射、反対称、推移、対称　が満たされていても半順序関係といえるのですね?
>先の3つだけ満たされている場合が半順序関係ではないのですね?

対称とはおそらく
(１,１)と(２,２)のことを言っておられるのだと思いますが、これは順序関係の公理でいうと反射律が成り立つということを言っているに過ぎません。

とにかく、順序関係は反射・反対称・推移の３つの公理を満たすもの、と定義されているのですから順序の３公理を満たしさえすれば対称的であろうがなかろうがそれは半順序集合です。
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>反射、反対称、推移、対称　が満たされていても半順序関係といえるのですね?
>先の3つだけ満たされている場合が半順序関係ではないのですね?

対称とはおそらく
(１,１)と(２,２)のことを言っておられるのだと思いますが、これは順序関係の公理でいうと反射律が成り立つということを言っているに過ぎません。

とにかく、順序関係は反射・反対称・推移の３つの公理を満たすもの、と定義されているのですから順序の３公理を満たしさえすれば対称的であろうがなかろうがそれは半順序集合です。
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