双曲線関数のテイラー展開

２つの双曲線関数のテイラー展開が下のようになることを証明したいのですが、どのように証明すればよいのかわかりません。
よろしければ、どなたか詳しい証明をお願いします。

sinh(x) = Σ[ {1/(2k+1)!} exp(2k+1)]
cosh(x) = Σ[ {1/(2k)!} exp(2k)]

Σの範囲はk=0～k=∞です。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/11/18 01:08

テイラー展開については

次の参考URLをご覧下さい。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4% …
正確にはx=aにおけるf(x)のテイラー展開といいます。
x=0におけるf(x)のテイラー展開の事は
マクローリン展開といいます。
その意味で質問の問題はマクローリン展開という方がベターです。

しかし、証明する式
＞　sinh(x) = Σ[k=0,∞] [{{1/(2k+1)!} exp(2k+1)]
＞　cosh(x) = Σ[k=0,∞] [{1/(2k)!} exp(2k)]
はマクローリン展開でも、テイラー展開でもありません。
正しくは
　sinh(x) = Σ[k=0,∞] [{{1/(2k+1)!} x^(2k+1)]
　cosh(x) = Σ[k=0,∞] [{1/(2k)!} x^(2k)]

双曲線関数sinh(x)とcosh(x)のマクローリン展開の正しい展開式は上記参考URLに掲載されていますので確認下さい。

この回答へのお礼

ご指摘ありがとうございます、右辺を書き間違えてしまいました。

お礼日時：2007/11/18 14:23

No.1 回答者： koko_u_u 回答日時： 2007/11/18 00:32

右辺がどう見ても Taylor 展開ではないのですが。

。。