x_1, x_2, ..., x_nは互いに異なる正の整数です。(i,j)成分が1/(x_i+x_j)である行列は正定値行列であることを証明してください。

正定値行列の意味を調べたのですが、意味が分かっても解決の糸口になりませんでした。ヒントをよろしくお願いします。

※別の質問を同時に投稿させていただいています。頼ってばかりで申し訳ありません;

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A 回答 (6件)

>#4お礼



さすが、理解が早いですね。

そうですね、帰納法で出来ます。

僕は最初、対称式の因数分解の方法(因数定理の利用)で考えていたのですが、「対称性」を考えれば、あえて使わなくても解けますね。
(まあでも、因数定理あるいは、多項式の因数分解の一意性を、暗に仮定していますが・・。まあ、そこは気にしないでいいでしょう。気にしないで下さい。僕も気にしません!)

まず、見やすくするために、ちょっと問題を一般化して見ましょうか。(しなくてもいいですが)

x_1,x_2,・・,x_n , y_1,y_2,・・,y_n を「文字」として、
ij成分が1/( x_i + y_j )
であるような行列Y(これは対称行列ではないことに注意)の行列式を
f( x_1,x_2,・・,x_n , y_1,y_2,・・,y_n )
とします。
このfが、
f=(Yのすべての成分の積)×(x_i たちの差積)×(y_i たちの差積) ・・・●
となることが同様に言えます。これを言えば十分ですよね。

行列式をまず第一行で展開して、分母を「すべての成分の分母の積」で通分すると、分子は、
(成分の分母の2n-2次式)×( x_2 ~ x_n の差積)×(yのn-1個の差積)の和や差になりますよね。 ・・・※

つまり、分子の式は、( x_2 ~ x_n の差積)で割り切れる訳です。

同様に第二行で展開すれば、同じ分子の式が、( x_1,x_3 ~ x_n の差積)で割り切れることが分かります。

これら全てを考えれば、分子の式が、任意のi,jについて x_i-x_j で割り切れることが分かります。
つまり、( x_1 ~ x_n の差積)で割り切れることが分かります。

次に同じように、第一列~第n列で展開すれば、同じ分子が、
( y_1 ~ y_n の差積)で割り切れることが分かります。

よって、分子は、( x_1 ~ x_n の差積)×( y_1 ~ y_n の差積)で割り切れることが分かりますが、※から、これで次数は合うので、割った商は「定数」になることが分かります。
そこで、たとえば、
{(x_1)^(n-1)}{(x_2)^(n-2)}・・(x_(n-1))×{(y_1)^(n-1)}{(y_2)^(n-2)}・・(y_(n-1))
の項の係数を考えれば、(第一行で展開したものの分子と比較して)、共に1になることが分かるので、商は1になります。

よって題意が証明されます。

ごめんなさい、ほとんど書いてしまいました。
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この回答へのお礼

なるほど、共通項に注目すれば証明も簡単ですね。僕は一旦展開しちゃったりしていたので、証明も二度手間になってしまいました。
最後まで、詳しい説明をどうもありがとうございました^^。ご教授いただいた内容を参考に必要な部分を補充して、今日先生に提出しました。

ところで、提出後、先生にその場で採点を頼んだら、ものすごい綺麗な別解を教えてくれました。僕はものすごい感動したので、参考までに引用しておきます。

Aは(i,k)成分が1/x_i+x_kの行列とする(jが読みづらいのでkにしました。)
v = (v_1, v_2, ... , v_n) ≠ 0 とする。
行列Aが正定値 ⇔ (v^t)Av > 0, (v^t)はvの転置行列

v_i ≠ 0 なので以下が成り立つ。
0 < (Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i})^2 (λは変数)
0 < Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i} * Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < Σ[i=0,n]Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i*e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}
∫[0,∞]0*dλ < ∫[0,∞]ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}dλ
0 < ΣΣ{(1/(x_i+x_k))*v_i*v_k}
0 < (v^t)Av ■

こういう問題でexponentialを試すのは常套手段だと言っていましたが、いや~、普通思いつかないですよね~(汗

お礼日時:2007/12/01 03:12

>僕は一旦展開しちゃったりしていたので、証明も二度手間になってしまいました。



展開して因数分解したの?
君も激しいね。いやいや、なかなか頼もしいです。
蛇足ですが、多変数の多項式でも、因数定理が使えますので、例えば、多項式で、x_1 に x_2 を代入して0になれば、その多項式は(x_1-x_2)で割り切れます。
(x_1 のみを文字と思って、割り算を行えば、普通の因数定理と同様に示せますね。)
そういう技術を使っても、分子を展開せずに分解できますよ。#5の方法よりは、面倒になりますが。(高校の因数分解(因数定理を用いる、対称式・交代式の因数分解)で習わなかったかな?ちょっと発展的な手法だから、普通は習わないのかな?)

>0 < (Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i})^2 (λは変数)
0 < Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i} * Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < Σ[i=0,n]Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i*e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}
∫[0,∞]0*dλ < ∫[0,∞]ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}dλ
0 < ΣΣ{(1/(x_i+x_k))*v_i*v_k}
0 < (v^t)Av ■

おお、そんな方法があるのですか!
うまいですね!他でも使えそうですね・・。

常套手段ですか、知らなかったです。
というか正定値行列等の箇所は、僕が学生時代勉強しなかった所なので、勉強になります。
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この回答へのお礼

いや~疑問なく展開しちゃったんで、気合でパターン見つけて因数分解しました。今回はいろいろと勉強させてもらいました。本当にありがとうございました!

お礼日時:2007/12/03 00:39

>#3訂正と補足



問題の行列をXとします。

行列Xのうち、行をk個(i1,i2,・・,ik )と列をk個(i1,i2,・・,ik )任意に選ぶと、
それらの交点により出来るk次小行列Aの行列式は、
(Aのすべての成分の積)×(x_i1,x_i2,・・,x_ik の差積)×(x_j1,x_j2,・・,x_jk の差積)
となります。 ・・・★

これを書こうとして、ミスりました。

※差積は勿論?、「番号の小さいものから大きいものをひいたものの積」か、「番号の大きいものから小さいものをひいたものの積」です。
どちらでもいいです。(行の方の差積と列の方の差積をかけるので、どちらでも同じになります)

ですから、X自体の行列式は、
(Xのすべての成分の積)×(x_1,x_2,・・,x_n の差積)^2
になります。
二乗がぬけていました。失礼しました。

とにかく、★を証明すれば、この問題は解決しますし、もう一つの問題の正則は勿論、各成分が整数であることも、解決します。

ああ、スッキリした。

もし分からないところがあればまた質問して下さい。明後日には対応します。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。

二つの問題は似て非なるものだと思っていたのですが、なるほど、正定値を行列式から捉えると、非常に似た問題になるのですね。

★を証明すれば、二つの問題が同時に解決するというところまでは分かりました。いま現在★の証明に取り組んでいます。普通に帰納法で証明できるでしょうか。

お礼日時:2007/11/29 13:48

行列式を調べてみたらびっくりした。



(成分すべての積)×(x_i たちの差積)

になる。(まだn=2,3しか確認していないが、一般的に示すのは、これはそれほど難しくないだろう)

これで#1の、 x_i を大きさの順に並べた上での、(2)の方針でOKやね。

そして、もう一つの問題の、正則の方も。

成分が整数なのは・・どうかな?
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#1です。



訂正
>(行を交換しても、(右)固有ベクトルと固有値は変化しない。さらに列を交換しても、左固有ベクトルと固有値は変化しない)

これは嘘八百でした。
単位行列の、ii成分とjj成分を0にして、ij成分とji成分を1にした行列をPとすると、P^(-1)=Pで、
もとの行列をXとすると、PXPが、i行とj行、i列とj列を入れ替えた行列になる。
XとPXPは固有方程式が同じだから、XをPXPに帰着できる、ということですね。
大変失礼しました。

もう一つの問題にも書きましたが、やはり掃き出し法で、うまく帰納法に持ち込むのが、一番有望でないかと思います。

色々頑張ってみて下さい。
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気になるので、答えじゃないけど一言だけ。



・正定値の定義は、実対称行列において、
(1)二次形式>0(「すべての変数の値が0」以外のとき)
あるいは、
(2)すべての固有値が正
であり、両者は同値ですね。

・もしi<jで、x_i>x_j ならば、i行とj行を交換し、続いてi列とj列を交換することにより、x_i と x_j を交換した行列になるから、
x_1<x_2<・・<x_n
である場合に帰着できますね。
必要ないかも知れませんが。

(行を交換しても、(右)固有ベクトルと固有値は変化しない。さらに列を交換しても、左固有ベクトルと固有値は変化しない)

(僕が)考えられる方針としては、
(1)掃き出し法による三角化により、固有値が正であることを示す。
(かなり面倒くさそう)
(2)「第1~k行、第1~k列までで区切った行列の行列式が、k=1~nですべて正」であれば正定値だそうですから
(下の参考図書あるいは参考URL参照。証明も簡単です)、
問題の行列の行列式が正であることを示せれば終わりですね。
(3)Xが正定値⇔(tA)A=Xとなる正則行列Aが存在する
(※tAはAの転置行列)
という判定方法もありますね。
(下の参考図書参照)

参考図書:線形代数とその応用;G.ストラング;産業図書の6.2正定値性の判定条件

ちょっと気になって調べてみました。
頑張ってね!
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行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
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>(cの転置)Ac>0
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とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
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(1)
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その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
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(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



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