x_1, x_2, ..., x_nは互いに異なる正の整数です。(i,j)成分が1/(x_i+x_j)である行列は正定値行列であることを証明してください。

正定値行列の意味を調べたのですが、意味が分かっても解決の糸口になりませんでした。ヒントをよろしくお願いします。

※別の質問を同時に投稿させていただいています。頼ってばかりで申し訳ありません;

A 回答 (6件)

>#4お礼



さすが、理解が早いですね。

そうですね、帰納法で出来ます。

僕は最初、対称式の因数分解の方法(因数定理の利用)で考えていたのですが、「対称性」を考えれば、あえて使わなくても解けますね。
(まあでも、因数定理あるいは、多項式の因数分解の一意性を、暗に仮定していますが・・。まあ、そこは気にしないでいいでしょう。気にしないで下さい。僕も気にしません!)

まず、見やすくするために、ちょっと問題を一般化して見ましょうか。(しなくてもいいですが)

x_1,x_2,・・,x_n , y_1,y_2,・・,y_n を「文字」として、
ij成分が1/( x_i + y_j )
であるような行列Y(これは対称行列ではないことに注意)の行列式を
f( x_1,x_2,・・,x_n , y_1,y_2,・・,y_n )
とします。
このfが、
f=(Yのすべての成分の積)×(x_i たちの差積)×(y_i たちの差積) ・・・●
となることが同様に言えます。これを言えば十分ですよね。

行列式をまず第一行で展開して、分母を「すべての成分の分母の積」で通分すると、分子は、
(成分の分母の2n-2次式)×( x_2 ~ x_n の差積)×(yのn-1個の差積)の和や差になりますよね。 ・・・※

つまり、分子の式は、( x_2 ~ x_n の差積)で割り切れる訳です。

同様に第二行で展開すれば、同じ分子の式が、( x_1,x_3 ~ x_n の差積)で割り切れることが分かります。

これら全てを考えれば、分子の式が、任意のi,jについて x_i-x_j で割り切れることが分かります。
つまり、( x_1 ~ x_n の差積)で割り切れることが分かります。

次に同じように、第一列~第n列で展開すれば、同じ分子が、
( y_1 ~ y_n の差積)で割り切れることが分かります。

よって、分子は、( x_1 ~ x_n の差積)×( y_1 ~ y_n の差積)で割り切れることが分かりますが、※から、これで次数は合うので、割った商は「定数」になることが分かります。
そこで、たとえば、
{(x_1)^(n-1)}{(x_2)^(n-2)}・・(x_(n-1))×{(y_1)^(n-1)}{(y_2)^(n-2)}・・(y_(n-1))
の項の係数を考えれば、(第一行で展開したものの分子と比較して)、共に1になることが分かるので、商は1になります。

よって題意が証明されます。

ごめんなさい、ほとんど書いてしまいました。
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この回答へのお礼

なるほど、共通項に注目すれば証明も簡単ですね。僕は一旦展開しちゃったりしていたので、証明も二度手間になってしまいました。
最後まで、詳しい説明をどうもありがとうございました^^。ご教授いただいた内容を参考に必要な部分を補充して、今日先生に提出しました。

ところで、提出後、先生にその場で採点を頼んだら、ものすごい綺麗な別解を教えてくれました。僕はものすごい感動したので、参考までに引用しておきます。

Aは(i,k)成分が1/x_i+x_kの行列とする(jが読みづらいのでkにしました。)
v = (v_1, v_2, ... , v_n) ≠ 0 とする。
行列Aが正定値 ⇔ (v^t)Av > 0, (v^t)はvの転置行列

v_i ≠ 0 なので以下が成り立つ。
0 < (Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i})^2 (λは変数)
0 < Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i} * Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < Σ[i=0,n]Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i*e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}
∫[0,∞]0*dλ < ∫[0,∞]ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}dλ
0 < ΣΣ{(1/(x_i+x_k))*v_i*v_k}
0 < (v^t)Av ■

こういう問題でexponentialを試すのは常套手段だと言っていましたが、いや~、普通思いつかないですよね~(汗

お礼日時:2007/12/01 03:12

>僕は一旦展開しちゃったりしていたので、証明も二度手間になってしまいました。



展開して因数分解したの?
君も激しいね。いやいや、なかなか頼もしいです。
蛇足ですが、多変数の多項式でも、因数定理が使えますので、例えば、多項式で、x_1 に x_2 を代入して0になれば、その多項式は(x_1-x_2)で割り切れます。
(x_1 のみを文字と思って、割り算を行えば、普通の因数定理と同様に示せますね。)
そういう技術を使っても、分子を展開せずに分解できますよ。#5の方法よりは、面倒になりますが。(高校の因数分解(因数定理を用いる、対称式・交代式の因数分解)で習わなかったかな?ちょっと発展的な手法だから、普通は習わないのかな?)

>0 < (Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i})^2 (λは変数)
0 < Σ[i=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i} * Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < Σ[i=0,n]Σ[k=0,n]{e^(-λ*x_i)*v_i*e^(-λ*x_k)*v_k}
0 < ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}
∫[0,∞]0*dλ < ∫[0,∞]ΣΣ{e^(-λ(x_i+x_k))*v_i*v_k}dλ
0 < ΣΣ{(1/(x_i+x_k))*v_i*v_k}
0 < (v^t)Av ■

おお、そんな方法があるのですか!
うまいですね!他でも使えそうですね・・。

常套手段ですか、知らなかったです。
というか正定値行列等の箇所は、僕が学生時代勉強しなかった所なので、勉強になります。
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この回答へのお礼

いや~疑問なく展開しちゃったんで、気合でパターン見つけて因数分解しました。今回はいろいろと勉強させてもらいました。本当にありがとうございました!

お礼日時:2007/12/03 00:39

>#3訂正と補足



問題の行列をXとします。

行列Xのうち、行をk個(i1,i2,・・,ik )と列をk個(i1,i2,・・,ik )任意に選ぶと、
それらの交点により出来るk次小行列Aの行列式は、
(Aのすべての成分の積)×(x_i1,x_i2,・・,x_ik の差積)×(x_j1,x_j2,・・,x_jk の差積)
となります。 ・・・★

これを書こうとして、ミスりました。

※差積は勿論?、「番号の小さいものから大きいものをひいたものの積」か、「番号の大きいものから小さいものをひいたものの積」です。
どちらでもいいです。(行の方の差積と列の方の差積をかけるので、どちらでも同じになります)

ですから、X自体の行列式は、
(Xのすべての成分の積)×(x_1,x_2,・・,x_n の差積)^2
になります。
二乗がぬけていました。失礼しました。

とにかく、★を証明すれば、この問題は解決しますし、もう一つの問題の正則は勿論、各成分が整数であることも、解決します。

ああ、スッキリした。

もし分からないところがあればまた質問して下さい。明後日には対応します。
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この回答へのお礼

返事が遅くなってしまい申し訳ありませんでした。

二つの問題は似て非なるものだと思っていたのですが、なるほど、正定値を行列式から捉えると、非常に似た問題になるのですね。

★を証明すれば、二つの問題が同時に解決するというところまでは分かりました。いま現在★の証明に取り組んでいます。普通に帰納法で証明できるでしょうか。

お礼日時:2007/11/29 13:48

行列式を調べてみたらびっくりした。



(成分すべての積)×(x_i たちの差積)

になる。(まだn=2,3しか確認していないが、一般的に示すのは、これはそれほど難しくないだろう)

これで#1の、 x_i を大きさの順に並べた上での、(2)の方針でOKやね。

そして、もう一つの問題の、正則の方も。

成分が整数なのは・・どうかな?
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#1です。



訂正
>(行を交換しても、(右)固有ベクトルと固有値は変化しない。さらに列を交換しても、左固有ベクトルと固有値は変化しない)

これは嘘八百でした。
単位行列の、ii成分とjj成分を0にして、ij成分とji成分を1にした行列をPとすると、P^(-1)=Pで、
もとの行列をXとすると、PXPが、i行とj行、i列とj列を入れ替えた行列になる。
XとPXPは固有方程式が同じだから、XをPXPに帰着できる、ということですね。
大変失礼しました。

もう一つの問題にも書きましたが、やはり掃き出し法で、うまく帰納法に持ち込むのが、一番有望でないかと思います。

色々頑張ってみて下さい。
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気になるので、答えじゃないけど一言だけ。



・正定値の定義は、実対称行列において、
(1)二次形式>0(「すべての変数の値が0」以外のとき)
あるいは、
(2)すべての固有値が正
であり、両者は同値ですね。

・もしi<jで、x_i>x_j ならば、i行とj行を交換し、続いてi列とj列を交換することにより、x_i と x_j を交換した行列になるから、
x_1<x_2<・・<x_n
である場合に帰着できますね。
必要ないかも知れませんが。

(行を交換しても、(右)固有ベクトルと固有値は変化しない。さらに列を交換しても、左固有ベクトルと固有値は変化しない)

(僕が)考えられる方針としては、
(1)掃き出し法による三角化により、固有値が正であることを示す。
(かなり面倒くさそう)
(2)「第1~k行、第1~k列までで区切った行列の行列式が、k=1~nですべて正」であれば正定値だそうですから
(下の参考図書あるいは参考URL参照。証明も簡単です)、
問題の行列の行列式が正であることを示せれば終わりですね。
(3)Xが正定値⇔(tA)A=Xとなる正則行列Aが存在する
(※tAはAの転置行列)
という判定方法もありますね。
(下の参考図書参照)

参考図書:線形代数とその応用;G.ストラング;産業図書の6.2正定値性の判定条件

ちょっと気になって調べてみました。
頑張ってね!
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y=f(x1,x2,x3,x4,x5)としたとき、
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例えば、、、

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(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

(3) x1をaに、x2をbに、x4,x5を適当な値に固定し、x3を変化させてyが最大となるようなx3を求める。(このときのx3をcとする)

(4) x1をaに、x2をbに、x3をcに、x5を適当な値に固定し、x4を変化させてyが最大となるようなx4を求める。(このときのx4をdとする)

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yが最大になるようなx1,x2,x3,x4,x5はどのようにして求めればよいでしょうか?

例えば、、、

(1) x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し、x1を変化させてyが最大となるようなx1を求める。(このときのx1をaとする)

(2) x1をaに、x3,x4,x5を適当な値に固定し、x2を変化させてyが最大となるようなx2を求める。(このときのx2をbとする)

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質問者さんの方法でも(局所)最大値は見つかりますが、多くの場合、x1~x5 をそれぞれ少しだけ値を振って(Δx)、その時の y の変化が大きい方に、より動いていく、というやり方をします。例えて言えば、山登りで霧がたち込めていて頂上が見えない場合、足下の周辺の地面だけを見て、最も傾斜が急な方向に次の一歩を踏み出す(次の x1~x5 を決める)わけです。この方法は No.1 さんのおっしゃるように「山登り法」と呼ばれており、質問者さんの方法より速く(少ない歩数で)(局所)最大値に達することができます。

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より詳しくは「山登り法」で検索されるといろいろと見つかると思います。

まず最初に、この「一言では言い表せないような複雑な」関数が「連続」である必要があります。不連続の場合は初期値(「x2,x3,x4,x5を適当な値に固定し」に相当)から最大値に至る探索の道筋の手がかりがなにも無い事になってしまいますから。

次に、この方法で最大値が求まるためは、2次元で考えたとして山の頂上(y の最大値に相当)がパラメータx1,x2,x3,x4,x5の値域内でひとつだけである必要があります。山で例えると富士山(頂上の火口付近のくぼみは無視して)のような山です。そうでない場合、つまり、...続きを読む

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姿勢については、yアップの左手座標系として、カメラから見て
右、上、前方向をx,y,z、回転後の方向をx',y',z'とすると、
x' = R・x
y' = R・y
z' = R・z

となります。

行列の値の意味については、基底ベクトル中心の回転を表す回転ベクトルについては、以下に説明があります。
http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-105.html

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[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.


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