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[問]
可換群の部分群は正規部分群であることを証明せよ。

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↑この問題なんですが、いろいろ調べた結果
どの参考書でも 「明らか」 としか書いてありません。
どのように証明すればいいのでしょうか?
単純な問題かもしれませんが、よろしくお願いします。

A 回答 (3件)

Gを群として、Hを部分群とする。


HがGの正規部分群であるとは、任意のx∈Gに対してxHx^(-1)=Hとなる
ことですが、Hの任意の元hに対し、Gは可換群なので、
xhx^(-1)=xx^(-1)h=eh=hとなって、xHx^(-1)=Hとなります。
集合の記号のまま書けば、xHx^(-1)=xx^(-1)H=eH=H
正規部分群を考える意味があるのは、可換でない群においてということ
になりますか。
そして、正規部分群に対して、剰余群が考えられます。
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正規部分群の定義を書きなおすと


gH=Hg
可換群では左剰余類と右剰余類は常に一致するので可換群においては任意の部分集合は正規部分群。
正規部分群の定義から明らかです。
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>どの参考書でも 「明らか」 としか書いてありません。


正規部分群の定義から明らかなはずです。
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