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こんばんは。
ノルムの勉強をしていて、疑問が出てきたので、質問しました。

f,gがC[a,b]に含まれるとき、
||f-g||={∫(a→b)|f(x)-g(x)|^2dx}^1/2 (L2ノルム)が
ノルムの条件を満たすと書いてあったのですが、
条件1:||f||>=0,||f||=0⇔f≡0
条件2:||αf||=|α|・||f||,(αは実数)
条件3:||f+g||<=||f||+||g||
を考えたとき、条件2はすぐにわかったのですが
条件1と条件3がどうしても証明できません><

アドバイスをお願いします><

A 回答 (2件)

>条件3:||f+g||<=||f||+||g||



これはコーシー・シュワルツの不等式として有名ですね。証明はkabaokabaさんがご回答されているとおりですが、参考URLも覗いてみてください。

参考URL:http://homepage2.nifty.com/masema/pre_Hilbert.html
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見ている教科書に出てなかったら


他の教科書を探したりすると大抵はでていますが・・・

(1) 積分区間は省略します.
f>=0 のとき ∫f dx=0 ならば f≡0
証明できますか?
連続関数で考えているみたいなので
リーマン積分で考えれば十分でしょう.
ヒント:積分区間内で f≡0 ではないとすると,
積分区間内の一点 t で,f(t)が0ではない点が存在する.
fは連続なので,tの十分近傍 [s,u] で f>0 となるものが存在する.
[s,u] は積分区間に含まれるとしてよい.
このとき,∫fdx >= ∫_{s}^{t} fdx
#ほとんど答えだな・・・こりゃ
##リーマンじゃなくってルベーグだったら,f=0 a.e. です
##そのときは,それこそルベーグ積分の入門書にあります.

(3)線型代数の教科書によく出てる手を使います.
ヒント:任意の実数 t に対して∫(f-tg)^2 dx >= 0 なので
t^2 ∫g^2 dx -2t∫fgdx + ∫f^2dx >= 0
よって,tについての二次不等式だと思って
判別式 <= 0を考えて
(∫fgdx)^2 - ∫g^2 dx ∫f^2dx <=0
一方,
||f+g||^2 = ∫(f+g)^2 dx = ∫f^2 dx + ∫g^2dx + 2∫fgdx
(||f|| + ||g||)^2
= ∫f^2 dx + ∫g^2 dx + 2 (∫g^2 dx ∫f^2dx)^{1/2}
あとは比較するだけ.
等号成立の条件は頑張ってください.
#(1)を使います.
 
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Q「ノルム、絶対値、長さ」の違いについて

あじぽんと申します。よろしくお願いします。

ベクトルや複素数などに出てくる「ノルムと絶対値と長さ」というのは同じことを違う言葉で表現しているのでしょうか?
手元にある書籍などには全てが同じ式で求められています。
同じ式で表現されていても意味は少しづつ違っていたりするのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して定義できます。
数に対しては「長さ」という言い方はあまり聞かないと思います。
例えば、「3」の長さというような言い方は耳になじまないと思います。
一方、ベクトルの場合は、「矢印」という「線」になりますので「長さ」が定義できます。



最後の「ノルム」は、線形空間に対して定義できます。(もちろん実数、複素数やベクトルも線形空間です)
ノルムの条件を満たせばノルムになるため、複数のノルムが考えられます。
そのため、「(1,1)というベクトルに対するノルムは?」
という質問に対しては、「どのノルムを使うか?」という条件が欠けているため厳密に言うと「解答はできません」。
例としてよく扱われるノルムは「ユークリッドノルム」と言われ、通常のベクトルの長さと等しくなります。

ベクトルに対するノルムでは、「最大値ノルム」というのが他の例としてよく使われます。
これは、ベクトルの各要素の最大値で定義されます。
(例:(3,1,5)というベクトルの最大値ノルムは、3つの数字の最大値である5になります)

ノルムというと、線形空間であれば定義できるため、
f(x) = 3x^2+5x
という数式に対するノルムというのも考えられます。
(数式は、定数倍したり、足し算したりできますよね)
数式に対して「絶対値」とか「長さ」と言ってもピンと来ないですよね。

しかし、まだやられていないかもしれませんが、数式に対するノルムというのは存在します。


そうすると、なんでこんなんがあるねん。って話になると思います。

ここで、ベクトルに対してある定理があったとします。

それがさっきのような数式など他の線形空間でも成り立つんだろうか?
というのを考えるときに「ノルム」の登場です。

その定理の証明で、「ベクトル」として性質を使わずに「ノルム」の性質だけを使って証明ができれば、
それは「ベクトル」に対する証明でなくて「ノルムを持つもの」に対する証明になります。
(ちょっと難しいかな?)


このようにして、定理の応用範囲を広げるために「長さ」や「絶対値」の考え方をベクトルだけでなく「線形空間」という広い考え方に適用できるようにしたのが「ノルム」になります。

どれも同じような性質を持ちますが、違いの1つとして定義される空間が違います。

「絶対値」は、実数や複素数といった「数」に対して定義されます。
定義は、一通りしかありません。
ベクトルに対して、絶対値を求めるという言い方をする場合もあるかもしれませんが、それはベクトルの長さを表す記号に絶対値の記号を利用する場合があるからであり、参考書にも文章として「ベクトルの絶対値」という言い方はあまりされていないのではないでしょうか?



「長さ」というのは、空間にある「線」に対して...続きを読む

Q加重平均と平均の違い

加重平均と平均の違いってなんですか?
値が同じになることが多いような気がするんですけど・・・
わかりやす~い例で教えてください。

Aベストアンサー

例えば,テストをやって,A組の平均点80点,B組70点,C組60点だったとします.
全体の平均は70点!・・・これが単純な平均ですね.
クラスごとの人数が全く同じなら問題ないし,
わずかに違う程度なら誤差も少ないです.

ところが,A組100人,B組50人,C組10人だったら?
これで「平均70点」と言われたら,A組の生徒は文句を言いますよね.
そこで,クラスごとに重みをつけ,
(80×100+70×50+60×10)÷(100+50+10)=75.6
とやって求めるのが「加重平均」です.

Q数学のハット記号の意味がわかりません!

参考書にいきなり出て来た、関数の上に載っている"^"記号の意味が分かりません。
調べようにもどの本に載ってるのかもわからず、
ネットで調べようにも記号は調べられず、
ハットで検索しても関係ないものばかり出てくるのでわかりません。
どなたかハット記号の意味を教えてください。

Aベストアンサー

リアプノフ指数の話なら、
?dot{r(t)}=?hat{G}(t)r(t)
のGはヤコビアン行列じゃねーでしょうか。するとハットは行列をスカラーと区別するために付けてる記号かも知れません。だとすると最後の
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Qルベーグ可測集合ってなんですか???

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形・・・・・・・・・・・・   3次元ルベーグ可測集合  という。

私の疑問は、Q1.長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか???

ということと、

Q2.「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」  とは、どういう意味なのか???

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な(宇宙サイズ?)図形に対して言ってるんですかね???

ちなみに、

面積(体積)がゼロの図形は、面積(体積)が0で確定しているので、面積(体積)を持つというそうです。
ってことは、面積(体積)0の図形はルベーグ可測集合に属しますよね?

面積が0の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が0の図形とは、壁の無いお家(柱、骨組み)のこととか・・・ですか???

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか?↓

ルベーグという名前の人が、これら(の図形)は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

        長さ確定図形・・・・・・・・・・・・   1次元ルベーグ可測集合
        面積確定図形・・・・・・・・・・・・   2次元ルベーグ可測集合
        体積確定図形...続きを読む

Aベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは? これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~3で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で1になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、(先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです)、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は0に収束します。この収束値0を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。(有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが)、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。


以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面(2次元)を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線(一次元)を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点(からなる集合)は、長さが0です。0、1区間[0,1](これも集合です)の長さは1です。数直線全体の長さは無限大です。(0でも無限大でも、定まっていれば長さです)ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長...続きを読む


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