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タイトル通りなのですが、
三垂線の定理は現行の高校数学の範囲なのでしょうか?
いつぞやにビートたけしさんの深夜の番組で、
三垂線の定理を使う東大入試を問題として出していたのを見て、
「あら、三垂線の定理なんて今時使うのか」
と思いました。

ちょっとした疑問ですが、宜しくお願いします。

A 回答 (6件)

>#4(追加)



>数学の教師が強調していたのは正に先見の明と。

同意見です。良い先生ですね!

>受験答案では、○○の定理より、という書き方はしないのではないでしょうか。 

これは違うでしょう。そのように書くのは論述の基本です。
まあ、書かんでも、高校で使う定理は知れてるし、読んで分かるっちゃあ分かるんで、減点はされやんかも知れやんが・・。
しかし、今僕が三重弁(否定のやん)を使った最後の文のように(全然違うが)、分かりにくい答案になってしまいます。
高校生は、みんな「・・・の定理より」と書いていますし、そう指導します。言うまでもないことですが。
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この回答へのお礼

何度もありがとうございました☆
やっと色々な意味で安堵いたしました!
これからも数学を楽しんで行こうと思います!
重ねて御礼申し上げます!

お礼日時:2008/01/17 02:00

>#4



僕が生まれる少し前まで、高校で教えられていたのですね!
驚きです。
急速に現代数学化していったのですね。(良かれ悪しかれ)

そして、旧制高校でなくて、旧制中学だったようですね。失礼しました。

内容的には中学の初等幾何の定理だが、中学で触れる人は少なく、高校の空間ベクトルの一問題として触れる人が多い、しかし、定理として認識している人は非常に少ない、というような現状だと思います。

>#4
>断言は出来ませんが、消えた定理だから危険ではないでしょうか。 チェバ・メネラウスは、検算用に使うのが安全であると同様に。

チェバ・メネラウスを使って減点するような大学は、ないと思います。
三垂線の定理も、減点される可能性は、無いでしょう。

それは、現行の学習要領からは消えたものの、内容としては、中学・高校数学の範囲の内容だからです。

※正しく理解していないで使っているな、と見抜かれれば、勿論駄目ですよ。しかし、それは範囲内の定理でも同じことです。

むしろ、外積とか、ロピタルとか、証明を理解していなくても簡単に使えて、すごい威力を発揮する、「大学範囲の」定理の方が、使用の是非・減点はうるさいでしょう。(外積は物理で出てくるから、まだいいかな。証明も初等的だし。)

だけど、基本的には、正しい定理を、正しく理解して使う分には、何の問題もないです。

質問者は大学受験生ではないのですから、尚更でしょう。
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>>三垂線の定理



(1)
1966年度の高等学校一年生の教科書では、
  公理1,2,3,4,5 (平面幾何)
  公理6 (空間幾何)
     定理1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
     これらの定理の中で、
     定理12+定理12の系1+定理12の系2、
     みっつが、三垂線の定理とされています。
  内容は御存知の文面で省略します。

(2)
日本の数学教育の遷移。

旧制中学では(空間の)初等幾何、及び座標幾何であり、 vectorは旧制高等学校で教えられた、と推測します。 (チョット興味深い記事があります。)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%97%A7%E5%88%B6% …

その後、高等学校でvectorが主流になるまでは、 三垂線の定理は教科書の記載が続いたと思います。

学習指導要領の改定により、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%A6%E7%BF%92% …
この定理が消えたのは、1973年か1982年のはずですが曖昧な記憶によると、1973年と思われます。

現在は、数学少年/少女/青年以外は、聞いたこともない状況のはずです。

(3)
>>三垂線の定理を使う東大入試を問題・・・。

東大は、どんな難問でも学習指導要領を遵守するので、(三垂線の定理)なる用語は使用しないはずで、

>>ビートたけしさんの深夜の番組で。

これは多分、原文はvector形式で出題されいて、T.V.(radio)では一般にvectorでは通用しないので視覚に訴えられる様にするために、(三垂線の定理)の形式に変換したと思います。 しかしながら、いくら形式を変えても本質は変わらないので、改題して相当に難度を低くしてある気がしてなりません。

>>私の中学の数学教師が強調して使っていたのを思い出したのです。私が実際勉強したのは10年弱前でしょうか。

驚きました。 中学校とは!。 確かに、smart生徒にとっては理解可能ではあります。 また空間把握力は数学を学ぶに際し不可欠ですので、この定理は打って付けで、数学の教師が強調していたのは正に先見の明と。

>>「定理」なので、証明に使う際には「三垂線の定理より」と書けば。

断言は出来ませんが、消えた定理だから危険ではないでしょうか。 チェバ・メネラウスは、検算用に使うのが安全であると同様に。(これも少なからず事情があるので、怪奇としか言えません。)  三次方程式の解と係数の関係は、旧課程では無断使用可能でした。 これは代数学の基本定理が無断使用される事と、三次方程式の解の公式が存在する事とが合い交わって複雑な様相を呈しています。 高等学校の数学は必ずしも厳密な手順を踏んではいませんが、歴史的にも同じ現象は起きています。 新課程では学習指導要領に解と係数の関係は(はどめ規定)で(深入りは)できないはずですが、実際には出題される可能性があり、新課程でも無断使用可能と思われます。
http://www003.upp.so-net.ne.jp/chief/newmath.htm
受験者が悩むと同様に出題者側も悩みます。 だから、このような状況が起きないように出題者側が工夫します。 たとえば、三垂線の定理は使い難く、vectorの方が使い易くしてあります。 センタでは明らかにチェバ・メネラウスを容易に使える出題は回避しています。 どのような状況にも対応できる学習が最善である事は当然過ぎて・・・。 最後に 受験答案では、○○の定理より、という書き方はしないのではないでしょうか。 書けばbetterですが。 答案では式が書いてあれば採点者は何の式なのか即座に判定できるので。 質問siteでは質問者様が理解し易いようにするために、(余弦定理により)などとかきますが、これは別の話と思います。

以上、推測^n です。
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この回答へのお礼

学習指導要領の変遷まで載せていただき、
非常に興味深かったです!
今日の数学教育は易しくなる一方で、
面白みがなくなってきているように思います。

2年前からでしたか、センター試験の範囲が変更になりました。
その結果、中学の図形問題が高校に繰り上げされました。
これでは日本の理数教育が危うい気がします。
と、私の感想でしかありませんが(笑

とにもかくにも、懇切丁寧な回答を頂き、
本当にありがとうございました!

お礼日時:2008/01/17 02:06

>#2補足



あら若い方でしたね。
私立の進学校だったから、中学の先生が一所懸命教えていたんですね。

勿論、定理ですから、(証明を理解しておいた方が良いのは言うまでもないことですが)、「三垂線の定理より」でいいですよ。

僕は中学のときは、なんか難しそうな定理・・と思って敬遠していたんですが、高校で使って、なんていい定理!に変わってしまいました。
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三垂線の定理は、中学の教科書にも高校の教科書にものっていませんので、知る人ぞ知る定理となっています。



僕自身は中学時代(20年以上前)、高校への数学という雑誌で知りましたが、他にも、参考書や問題集で何度か見かけました(特に高校の空間ベクトルのところ。教科書傍用の4STEPという問題集にもありました)。

だから、証明したことのある学生は多いでしょうが、それを道具として認識している高校生は、実際まれだと思います。(現役時代の友人を考えても、塾で教えた生徒たちを見ても)

質問者さんは、ちょっと古い方でしょうか?三垂線の定理を良くご存知なんですね。昔は普通に勉強したのでしょうか?
旧制高校時代なんかは、初等幾何を、非常に厳密に、深い定理まで詳しく、バリバリに勉強していたみたいですね。

空間図形の問題を解くときには、今の高校生は普通はベクトルで(或いは座標で)解きます。
しかし、中学数学の技術を使って解くとやさしくなる場合もありますので、積極的に使う人もまれにあります。
切断面を考えて平面の問題に帰着させたり。
そして、問題によっては、三垂線の定理、使えるんですよね!

僕も高校で空間ベクトルの問題を解くのに使い、三垂線の定理が好きになりました。今でも塾で教えるときなんかに、ときどき使います。
(例えば、xy平面上の直線に、xy平面上にない点から垂線を引く場合、まずxy平面に垂線を下ろし、そこから直線に垂線をひくと、平面で考えられて、簡単になるんですよね!普通の高校生は、普通にベクトルで解きますが)

この回答への補足

実は、私の中学の数学教師が強調して使っていたのを思い出したのです。
私が実際勉強したのは10年弱前でしょうか。
でも、どのような定理だか忘れてしまったので、ネット上の問題を解いて思い出していました。

またさらにくだらない質問ですが、
これは「定理」なので、証明に使う際には「三垂線の定理より」
と書けば大丈夫なんですよね?
「三垂線の定理が好き」とおっしゃられる方がいると、
私まで好きになることが出来るようで、うれしくなります!
ありがとうございます♪

上記のくだらない質問にもお答えいただけると幸いです。
宜しくお願いいたします。

補足日時:2007/11/27 23:05
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垂心を含む五心については大学受験をする高校生にとっては知っていなければならない知識の筈です。

6年制の私立高校では中学の段階で教えますよ。
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この回答へのお礼

そうでしたか。
確かに、中学の図形分野でやった記憶があります。
(私は私立中高一貫だったのですが。。)
実際には高校の範囲だったんですね。ありがとうございました。

お礼日時:2007/11/27 22:44

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