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問題にそって角運動方程式を立てるとき
正負の符号のつけ方がわかりません。
これは、時計回り、反時計回りどちらかを正として決めているのでしょうか?

例えば、
----ー
  |\
  |  \ 棒
  |   \
  |    \
          ●
このような単振り子があったとします。
角運動方程式を立てるとき、棒の軸周りの慣性モーメントをJ、角度変位をθ、棒の長さをL、おもりの質量をmとします。
角運動方程式をたてるとき
J(d^θ/dt^2)=-mgLsinθ
J(d^θ/dt^2)=mgLsinθ
どちらが正しいのでしょうか??
この正負は時計周り、反時計回りのモーメントのどちらかを正とすると決めた上で、正負を決めるのでしょうか?

わかりにくい質問ですみません。
よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

 モーメントの正負を決めなくても、必然的に


>J(d^θ/dt^2)=-mgLsinθ
が正しいことになります。

 仮に、反時計回りを+θ方向とすれば、θ>0のとき負のモーメントが働くので、mgLsinθ>0ですから、右辺にはマイナス符号がつきます。同様に、θ<0のときは正のモーメントが働くので、mgLsinθ<0ですから、右辺にマイナス符号がつけなければなりません。
 他方、時計回りを+θ方向とした場合でも、上記のことが同様に成り立ちます。
 したがって、+θ方向を予め設定した上で方程式を立てても構いませんが、+θ方向をどのように設定しても同じ方程式が立てられます。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

迅速な回答ありがとうございます。

反時計周りを+θ方向にしたばあい、θ>0、θ<0で考えると
どちらも、右辺にはマイナスがつくことは理解できましたが
時計回りを+θ方向にした場合、なぜかθ>0、θ<0どちらも
右辺がプラスになってしまいます。
まず、θ>0の場合、プラスのモーメントが働きmgLsinθ>0なので+
   θ<0の場合、マイナスモーメントが働くmgLsinθ<0なので+
となるのですが・・・。

すみません、θ>0、θ<0 また プラス、マイナスのモーメントを理解できてないようです・・・。

恐れ入りますが、ご教授できたらよろしくお願いします。

お礼日時:2007/11/29 19:48

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Qモーメントの符号

力のモーメントの符号について質問があります。
私の使っている教科書「工業力学 入江敏博著」には「同一の平面内に働く時計回りのモーメントの符号を負、反時計回りを正」と書いてあるのですが、他の教科書やネットを見ていると「時計回りが正、反時計回りが負」と記述されているのも見られます。計算上の都合だけで、どちらでもかまわないのでしょうか?どちらがより一般的なのでしょうか。

Aベストアンサー

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
 N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と定義します。Nは、rとFのどちらにも垂直です。

(例)紙面に図が書いてあって、rが右向き、Fが下向きとすると、時計回りの力のモーメントになります。このとき、Nの向きは、紙面の向こう側に向かう向きになります。反時計回りの力のモーメントの場合は、Nの向きは、紙面から手前に向かう向きになります。

(2)力のモーメントは、ベクトルの成分に分けて考えることができます。
 右手の親指・人差し指・中指をフレミングの法則のように垂直にしてそれぞれx,y,z軸とする座標系で考えます。
 紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をz軸として考えている場合は、紙面内で回転する力のモーメントはy軸方向になります。上の(例)とあわせてみると、時計回りはNyが正、反時計回りはNyが負となります。

 一方、紙面の右方向をx軸、紙面の上方向をy軸として考える場合は逆です。時計回りはNzが負、反時計回りはNzが正となります。

(3)そもそも、紙に実験装置か何かの絵が描いてあったとして、その装置を裏側から見れば回転は逆になるのですから、座標軸がない限り回転方向の正負は決められません。

(3)以上のようなことですから、紙面に書かれた図で力のモーメントを考える場合は、上のように座標軸を決めるか、または時計回りと反時計回りのどちらを正にするのかを、まず宣言する必要があります。

「力のモーメントは時計回りを正とする」と宣言すれば、以後の計算はそれに従います。宣言していない場合は、式の形から見分けるしかありません。

分野によっては、何か習慣があるかもしれません。そのあたりの事情はわかりません。
ご質問の趣旨に合わなければ申し訳ありません。補足をお願いします。

質問者様の事情がわからないので、慎重に答えます。よくわからない場合は補足してください。

(1)「力のモーメントは空間のベクトルだから、単純に正負に区別できない」というのが、たぶん本来の回答です。力のモーメントの定義は、ベクトルの外積を使って、
 N = r × F
です。rは支点から作用点に向かう位置ベクトル、Fは作用点に働く力です。演算「×」は外積といいます。Nの大きさは、|r||F|sinθです。θはrとFの間の角です。Nの向きは、rからFに向かって近いほうの角に回転させたとき、右ねじが進む方向と...続きを読む

Q加速度と角加速度の関係について

速度と角速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の速度がv,とすると
角速度ω=v/r [rad/s]
になると思うのですが,
加速度と角加速度の関係は
中心から質点までの距離がr,質点の加速度がa,とすると
角速度α=a/r [rad/s^2]
となるのでしょうか?
ご教示よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

半径rが定数とすれば、その通りです。
加速度、角加速度はそれぞれ速度、角速度の単位時間の変化量(時間微分)ですので、加速度は「a=dv/dt」、角加速度は「α=dω/dt」と表せます。
同時に、角速度の式「ω=v/r」の両辺を時間で微分すれば「dω/dt=(dv/dt)/r」となり、この式はすなわち「α=a/r」となります。
ただし半径rそのものが時間関数r(t)の場合はこの限りではありません。

Q回転運動のエネルギー

大学に入って初めて剛体の力学について習ったのですが、高校の物理と違ってよく分かりません。
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Aベストアンサー

回転運動のエネルギーの証明ということですが
回転運動といっても基本的には運動エネルギーなのです。ある軸を中心に剛体がくるくる回っている時の
エネルギーは軸の周りの慣性モーメントIとして
1/2Iω^2です。これの証明は、まず剛体の各微小部分
を考えます。その各微小部分(質量Δm)の運動エネルギーは
1/2Δmv^2=1/2Δm(rω)^2となります。v=rωというのは微小部分の速度ですが、その微小部分が回転軸からr離れていて、そして剛体は角速度ωでまわっているからです。
軸から距離r+Δrのところにある微小部分なら、その速度は(r+Δr)ωです。
それで、微小部分の運動エネルギーを全て加えれば、
それが結局回転のエネルギーということになります。
U=Σ1/2Δmv^2=Σ1/2Δm(rω)^2=1/2(ΣΔmr^2)ω^2

ここで、ΣΔmr^2というのは、軸から距離rはなれたところの微小部分の質量Δmに、その軸からの距離rの2乗をかけて、それを剛体のあらゆる微小部分について加えたということであり、それは結局軸の周りの慣性モーメントを意味します。I=ΣΔm(r)r^2よって
U=1/2(ΣΔmr^2)ω^2=1/2Iω^2となります。

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Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q2原子、3原子分子の自由度について

2原子、3原子分子に対して回転運動・振動運動のそれぞれの自由度はいくらになりますか?
調べれば調べるほど、
2原子分子については回転3振動0だったり、回転2振動1だったりします。3原子分子でも回転3振動3だったり、回転2振動4だったりします。
正しい答えが知りたいので説明お願いします。(>_<)

Aベストアンサー

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの3方向のうちいずれかの方向に一斉に動く運動というものが考えられますが、これは並進運動と呼ばれるものです。
分子によって特定の方向の並進運動ができないということはありません。
したがって、どんな分子でも並進運動の自由度は3になります。

次に、原子の動き方によっては、分子全体が回転するようなことが考えられます。
回転の方向としては、xy平面(z軸中心の回転)、yz平面(x軸中心の回転)、zx平面(y軸中心の回転)の3種類が考えられます。
ただし、直線分子に関しては注意が必要で、分子の軸を中心とした回転は、原子の位置が全く変化していないので、動いていないのと同じということになります。
そういうわけで、回転の自由度は3(直線分子では2)ということになります。

残りはすべて振動の自由度になるため、振動の自由度は3N-6(直線分子では3N-5)となります。

したがって、回答としては、
2原子分子(必ず直線)では 回転2振動1
3原子分子では 回転3振動3(非直線分子)または回転2振動4(直線分子)
となります。

1つの原子はx、y、zの3方向に動けるから自由度3を持ちます(斜めはこれらの組み合わせで表される)。
原子が2つになると、動きとしては3×3=9とか、±を考えてもっとたくさんありそうに思えますが、実際に意味のあるものはx1に対して±x2、y1に対してy2±、z1に対して±z2の6つです。
他の動きはこれらの組み合わせで表せます。
一般的に、N個の原子の自由度の合計は3Nになります。
N原子分子はN個の原子の集まりなので、自由度は3Nです。

そのうち、すべての原子、つまり分子全体がx、y、zの...続きを読む

Q加速度は正負を考慮しますか?

よろしくお願いします。基本的なところだとは思いますが、運動方程式F=maの加速度aは数値を代入するとき、正負を考慮しますか?それとも、加速度の大きさだけ、で、正負は考慮しないでしょうか?

問題
親亀、質量Mの上に子亀、質量mが乗っている。親亀を一定の力Fでx軸正方向に引っぱった。二匹の亀の間には摩擦があるが、親亀と床との間はなめらかとする。
3)さらに力を大きくしてF2にすると二匹の亀はバラバラに動いた。
子亀の加速度a'を求めよ。動摩擦係数をμ'とする。

私は、x軸正方向、F2方向をプラスとして、運動方程式を使って、
μ'mg=-ma'
∴a'=-μ’gとしましたが、解答は、
ma'=μ'mg
∴a'=μ'g
となっていました。
ですが、x軸正方向をプラスとすると、動摩擦力がかかるのはプラス(右向き)、子亀が動くのは、マイナス方向(左向き)だと思います。
なので、どうして解答のようになるのかわかりません。

基本的なところだとは思いますが、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>運動方程式F=maの加速度aは数値を代入するとき、正負を考慮しますか?それとも、加速度の大きさだけ、で、正負は考慮しないでしょうか?

 正負を考慮します。
 運動方程式で、力Fと同じ方向を加速度aも正とします。
 まだ習っていないかも知れませんが、実は、運動方程式は、ベクトルの方程式で、
  ma→=F→ (a→、F→はベクトル)
と表されるのです。

>私は、x軸正方向、F2方向をプラスとして、運動方程式を使って、
>μ'mg=-ma'

 運動方程式が違います。基本は、左辺に質量と加速度をかけたものをもってきて、右辺に力を書きます。その際、加速度と同じ方向を正とするように力の項を書きます。
 したがって、小亀の運動方程式は次のようになります。
  ma’=μ'mg
 あとは、解答どおりの答えが導かれると思います。

>ですが、x軸正方向をプラスとすると、動摩擦力がかかるのはプラス(右向き)、子亀が動くのは、マイナス方向(左向き)だと思います。

 これは逆です。
 親亀の運動方程式は、
  ma=F2-μ'mg
となるように、摩擦力はF2と反対方向(マイナス方向)に働きます。
 一方、小亀は親亀との摩擦力でF2方向(プラス方向)に引っ張られますので、小亀の動く向きは、プラス方向になります。
 このことを感覚的に理解するため、手のひらを重ねて下の手を右側に動かしてみてください。上の手が右側に引きずられることが体感できることと思います。

>運動方程式F=maの加速度aは数値を代入するとき、正負を考慮しますか?それとも、加速度の大きさだけ、で、正負は考慮しないでしょうか?

 正負を考慮します。
 運動方程式で、力Fと同じ方向を加速度aも正とします。
 まだ習っていないかも知れませんが、実は、運動方程式は、ベクトルの方程式で、
  ma→=F→ (a→、F→はベクトル)
と表されるのです。

>私は、x軸正方向、F2方向をプラスとして、運動方程式を使って、
>μ'mg=-ma'

 運動方程式が違います。基本は、左辺に質量と加...続きを読む

Q物理 ばねにつながれた二物体の運動

質量M,mの質点をばねでつなぎ、なめらかなx軸上水平面で質量Mの質点に任意の初速を与えた時の運動を解析したいのですが、運動方程式の立て方がわかりません。
教えていただきたいです。

Aベストアンサー

ここで説明すると大変なので、下記などを参照してください。手抜きですみません。

http://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95_%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95

http://rokamoto.sakura.ne.jp/education/physicsI/two-body-coupled-spring-qa080724.pdf

QI dw/dt = - N

回転の運動方程式で

慣性モーメント*回転角の二回微分= - N

になるのはなぜですか?

なんで力のモーメントにマイナスが付くのかが分かりません。
運動方程式FとポテンシャルエネルギーUのようにしっかりとした理由があるのならば教えてください。
マイナスが付く理由がわかりません。

Aベストアンサー

以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
dω/dt および N
とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
dω/dt < 0
したがって,
dω/dt = -N
と表記されることもあり得るわけですね。

しかし,通常は同軸まわりの回転と力のモーメントを考えるとき
「上から見て反時計回りを正にとる」
というのが標準的な向きの定義です。
このような標準的な基準に従えば,角加速度と力のモーメントは同じ向きですから,方向成分を取り出した運動方程式にマイナスがつくことはありません。
dω/dt < 0 ならば,N < 0 と約束すればいいだけのことです。

ご紹介の方程式は,上のような標準的な基準を守っていない記述といえます。
たとえば,ωの正方向に回転をしている物体にブレーキがかかったような場合,力のモーメントの大きさをNと置いたようなときに,
I dω/dt = -N
といった表現が現れるわけです。

以下ベクトルを「~」をつけて表します。

運動方程式
m dv~/dt = F~
がベクトル方程式であるのと同様,回転の運動方程式も本来は
I dω~/dt = N~
というベクトル方程式です。

ベクトル dω~/dt と N~ は同じ方向なのでマイナスはつきません。

ただ,ベクトルの方向成分を取り出してその大きさを
dω/dt および N
とするとき,dω/dt が定義されている向きと逆回転方向であるならば
dω/dt < 0
したがって,
dω/dt = -N
と表記されることもあり得るわけですね。

しかし,通常は同軸まわりの回転と力のモーメントを...続きを読む


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