こういう算数の文章問題の解き方と子供への教え方について

以前、「小学生に中学の一次方程式を教えてもよいか？」という質問をさせていただいた事があります。http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3337961.html
様々な貴重な意見をいただきました。「中学受験を考えるなら、むしろ一次方程式は使う（教える）べきじゃない。」との意見もありました。そこで、今回は前回と似た質問をさせていただきます。まずこういう算数の文章問題をご覧下さい。

問題
「Ａさんは２００円持っています。みかん３個とりんご１個を買ったら、お釣りは１０円でした。りんご１個の値段はみかん１個の値段より３０円高いです。みかんとりんご、それぞれ１個の値段を求めなさい。」

解き方ですが、多分こんな感じだろうと思います。

(A)一次方程式の場合
みかん１個を「x(エックス)」に置いて、みかんを「３x」、りんごを「x＋３０」とし、「３x＋x＋３０＋１０＝２００」と方程式をたて、xを求める・・・。

(B)小学生のように、図を書いてやる。(以下は図に書けないので言葉で図を表現しています。)
「線を引いて、どこからどこまでがみかん３個、どこからどこまでがりんご１個、残りがお釣り１０円で、全部で（線の端から端までが２００円）。そうすると、２００円からおつりの１０円と、りんごのみかんに比べて高い３０円を引いて（２００－１０－３０＝１６０円）、１６０円の内訳はみかんが４個分だから、１個は　１６０÷４＝４０円」と求める・・・。

そこで、２点質問させていただきます。

(1)うちは現在は地方に住んでいて、公立中学しかないので、今のままだと中学受験はありません。それでこういう問題で、「中学受験がない。」という前提で、小学生に一次方程式を使うやり方を教えていいかどうか、ご意見をいただきたいと思います。中学受験がなくとも、小学生のうちは、図を書いて教えるべきだと思いますか？何しろ、自分が中学受験の経験が無く、方程式で「何と何が＝になるか？」という、立式の考え方が根強く、ついこうなってしまいます。

(2)もう１点は、(B)のように図で教える場合の困った事です。
最初の頃、求めるものを「x(エックス)」の代わりに「？」に置いて図を書いて、小学３年の子供に教えていたんです。上の問題の場合でしたら、「みかん・・・？×３（個）」、「りんご・・・？＋３０」という具合です。
ところが今回のように「？」の個数が全部で４個の場合はまだスペース的に図に書ききれるのですが、「？」の個数が多くなると、こういう場合図に書ききれないという事態になってしまいます。
それでみかん３個なら３個全体を「？」に置いて、あとで１個分を求めるために３でわり算するように教えようとしたのですが、そうすると、そもそも今度は「？」が「みかん３個分」なので、りんごが「？＋３０」と表せなくなってしまいました。理論的にはりんごを「３分の？＋３０」と、分数を使って表せば済むのですが、こういう場合は、どういう図の書き方をすればいいのでしょうか？また他に良い教え方があるのでしょうか？

特に(2)については、色々教えていただきたいと思います。

No.7 回答者： Ama430 回答日時： 2007/12/01 23:53

もともと鶴亀算は、中学入試のために、連立方程式を使えば簡単な問題を、あえて「鶴と亀を混ぜて数える」というような無理をして解く方法と思います。

これで柔軟な発想が鍛えられる場合はゼロではないのですが、それよりも、「算数は現実と乖離していて難しい」という印象を子どもたちに刷り込んできたケースが圧倒的に多いと思います。

個人的には、一次方程式が有利な問題を小学生相手に出す時点で、何をテストしたいのかという出題者の見識を疑ってしまいます。

(1)一次方程式の初歩は小学校高学年でも理解可能と思います。
しかし、本来の算数の内容でも理解しきれないお子さんもいらっしゃるので、無理は禁物です。

(2)一般的に処理したいなら方程式を使うことです。

みかん100個の場合は？？？？．．．．？＋(？＋３０)と書いて点線の上に「100個」と書いても良いのではないでしょうか。
これが？×１０１＋３０になることはわかると思います。

線分図でも同様です。

No.6 回答者： nachiguro 回答日時： 2007/12/01 15:47

こんにちは。

私は小学校6年生の時、最初はブラックボックスと言う内容にて一次方程式を、更には一次連立方程式までやった経験があります。（ちなみに関東圏の公立小学校で、30年以上前の話です）

その学校自体受験学校と言うものではなく、今思えば四則演算の完成と中学校の数学に向けて一次関数までの予習だったのではないかと思いますが、指導要綱云々よりも今や教育界自体問題が大アリなんですから、頭の柔らかいうちにそのようなことを入れておくことは必要だと思っています。

そうでなければ逆に方程式と言う考えではなく一次関数の考えやお金遊びの発想は如何でしょうか？

一次関数は所謂一定の右肩上がり/下がりのグラフです。
これも当時直接ではないのですが、理科の太陽と日陰の傾斜位置について学んだ記憶がありその発想を応用するのも良いのかも知れません。（ただしこの場合完全なる一定の右肩上がり/下がりのグラフにはなりませんでしたが）

お金遊びは言ってみたらおままごとの様な遊びを取り入れる感覚です。
あまり算数・算数ってやるとアレルギーが出ますのである所ではガス抜きも必要でしょう。

(2)については？が嫌でしたら●や▲或いは■等の記号を使えば良いでしょう。ＸやＹなどもある意味ではただ単なる記号でしかないのですから。

ただ私自身30年前にこんなことをやっていたので、参考になるかはわかりませんけど。　

No.5 回答者： hkinntoki7 回答日時： 2007/11/30 23:03

　線分図はいかがでしょう。

みかん：─

りんご：─＋３０円
　　　　　　
おつり：１０円

─　─　─　─　━　　　━
　　　　　　　　　　↑　　　↑
　　　　　　　　　３０円　１０円
─×４＋３０円＋１０円＝２００円の場合、

─は何円？

※文字で表現するには限界があります。
下記ＵＲＬで確認を（線分図で検索するとＨＩＴします）

参考URL：http://www.shinko-keirin.co.jp/sansu/WebHelp/htm …

No.4 回答者： kieneko 回答日時： 2007/11/30 09:37

こんにちは。

私も？以前、数学の塾の講師をしておりました。
今年、息子が中学受験です。
中学入試問題には、確かにそのような問題があります。
私も、いっそのこと方程式教えてしまおうかと思いました。
でも、ここで、がっこうによっては、途中式を書くような場合、小学校で習っていない方程式を使うと、×になる可能性もあると伺い、「鶴亀算　面積図」勉強しました。
なるほど！「方程式」で固められた私にも、面白いパズルのような解き方があるのを知って驚きました。
これなら、パズル好きの子供は、解くのが面白くなるかも！
と、思い、昨日早速息子に教えてみました。
予想通り、すぐ理解でき、逆に解くことが楽しくて仕方ない様子でした。
　ただ、息子も数検などを受験していますので、いずれ使う便利なもの（方程式等）は早めに教えたいと思っています。
ただ、今教えると、受験と混乱するので、控えている状態です。

No.3 回答者： kikanshayaemon 回答日時： 2007/11/29 20:44

全くの個人的意見です。

パパママ塾中心に中学受験をしましたが、子どもによって理解の仕方が違いましたので、子どもの反応を見て教え方を変えて、最終的には両方教えていました。ただ、どちらの場合もお子さんの中で「抽象化」が必要ではないでしょうか。教えておられるお子さんは何年生ですか。小学校３年生だと、抽象的な書き方はなるべく避けて、具体的にイメージできるように書いてあげないとわかりにくいと思います。小学校４年生ぐらいでも最初はなるべく具体的に図を描いてあげるのがよいかもしれません。６年生になると方程式タイプも線分図タイプも両方素早く使いこなせるようになりました。こうした問題は練習だけではなく年齢に伴う精神的な成長も必要なのだと思います。

まず、（１）ですが、小学校では子どもによってはエックスとかワイといった文字（それを中学で書くような形で書くこと）に抵抗があります。そこで、前の質問の回答にもありましたが、我が家では方程式を使う場合も○□△などを使っていました。□を使った式（わからない数字を四角□とする）は数年前に子どもが小学生だった頃は教科書に載っていました。最新の教科書に載っているかどうかわかりませんが、わからない数を□や○として式をたてることは普通に理解できることで、そこからNo.2の方が書いておられるように式の展開をせずに四則演算の逆算を使って答えを出すことも小学校の学習範囲で問題なくできることだと思います。考え方によってはこちらの方が簡単かもしれません。お子さんの思考のタイプによるかと思います。ｘやｙはやめるとして、もしまだ３年生なら○△でもわかりにくいかもしれません。我が家では○のなかに「み」でみかん、○のなかに「り」でりんご、又は赤○でりんご、黄色○でみかんなど、最初はなるべく抽象化せず、具体物に近いかたちで教えていました。後から「り」を『「み」＋３０』に置き換えていきます。この置き換えのタイミングも大事で、急がず、「り」と「み」を使ってお子さんが式をたてて理解してから、手間を惜しまず気づかせて式を書き換えさせることが最初は必要だと思います。それでお試しになってお子さんの反応はどうでしょうか。

（２）の場合、是非最初は面倒に思われるでしょうが、同じく○に「り」と「み」又は色○を使って図を描きます。その図に納得してから「り」を「み＋３０」に置き換えるという手順も同じです。抽象化を避けるのが基本です。全体の金額を忘れずに表示させるようにします。
最初から「？」の個数が増えた場合を想定しておられるようですが、それはまだ先の話だと思います。まずは必ず１個ずつ全部図を描かせ、そういう問題をたくさん解いていくことだと思います。手間がかかりますが、升目のあるノートを活用して線分図が得意になっておけば先が楽です。なお「？」が増えた場合でも、お子さんが３年生や４年生なら２０や３０なら子どもに全部書かせてみることが必要かと思います。そのうち子どもの方が「面倒だから、試験時間内に解けないからここをこうしよう」と言い出します。あるいは図を描いている途中で「あ、わかった」といって図を途中でやめて答えを書くようになると思います。そこを無理に大人が教えないで少し納得する（子どもの中で熟成するというのでしょうか）のを待ってやるところが、親が勉強を時間をかけて見てあげる良い点ではないかと思います。
線分図は手書きなら今手元に描けたのですが、ここに作ろうとして挫折しました・・・。アスキーアートのテクニックがあったらよかったのですが。

算数では面積図も活躍します。線分図と面積図は、ちょっと大きな書店で受験用の参考書を立ち読みされるのがよいかもしれません。あまり詳しくありませんがリンクをひとつ貼っておきます。限られた経験ですし、素人の意見ですが、実際に子どもと共に線分図、面積図、方程式と格闘してきましたので、少しでも参考になれば幸いです。

参考URL：http://allabout.co.jp/children/ojuken/closeup/CU …

No.2 回答者： yokihito005 回答日時： 2007/11/29 11:43

（個人的な意見ということで）

算数の解答は説明的であればよく，その説明にｘ、ｙを使おうが、線図を描こうが、りんごとみかんの絵を描こうが、論理の展開をただしく採点者に伝えることが出来ればどちらでもかまわないと思います。

方程式はかなり記号的抽象化の度合いが強く、線図なら図形的抽象化、絵ならかなり具象的（即物的？）思考を用いて説明をしたことになります。線図なら小学生的，方程式なら公式的というステレオタイプな批判は正しくないような気がします。線図を自在に使うにはかなりの（図形的抽象化に対する）訓練が要りますし、記号式の場合は（課題を明快に記号化できているかという）立式のセンスが問われます。

ですから、記号式で立式しても、算術においては方程式の展開をせずに単純な足し算，引き算で答えを得てもよいと思うのです。

(2)はちょっと考えただけで３，４通りの描き方ができそうなんですが、文章で書くのは面倒なのではしょります（ゴメンナサイ）。ですが、今回の場合では、
>りんご１個の値段はみかん１個の値段より３０円高いです。
のように、陽にかかれている関係を前にもってくれば、最初からりんごはみかん＋30円で記述可能なんじゃないでしょうか？

みかん３個とりんご１個・・・・・○○○　●
　　　　　（みかん＋30円）・・・○○○（○＋30）

線図の上で置換法を用いるわけです。

このように書いてみると、この問題を解くのに線図を使うのが良いか、記号を使う（上の書き方のように）が良いか、一概には言えないとおもいます。抽象化のレベルが同程度であれば、こどもの理解度に合わせて両方を教えたほうがこどもの考える力を発展させる上で良いように思いますが、いかがでしょうか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

「方程式は記号的抽象化、線図なら図形的抽象化、絵なら具象的（即物的な思考」・・・とても参考になりました。そういう具合に意識した事がありませんでした。仰る通り、子供の思考力を向上させるには、いろいろやってみるのもいいと思いました。

(2)についてですが、文章での説明は確かに難しいですね。また時間ができたら、よろしければ教えて下さい。しばらく締め切らずに載せておきますので。

お礼日時：2007/11/29 12:30

No.1 回答者： assault852 回答日時： 2007/11/29 10:37

※家庭教師もしくは塾講師の方なのでしょうか?

私は、わざわざそこまで教える必要はないと思いますね。
いったい何の為にそこまで教えるの?中学に行ってからではだめなの?
という感じです。
したがって、図を使って教える手法も、それほど悩んでまで必要なこと?
という感じです。
小学生の子供の父ですが、今できる勉強がしっかり理解できれば十分かと思います。

私の地域にも中学受験がないので、受験がないから教える?、受験があるから教えない?という理論もどういう意味なのかわからないです。
※できれば簡単にご説明願えませんか。