指数計算 2^n-1

数列でよく指数計算を含んだ問題がでます。
でも全く計算ができなくて；
よくでてくる例で、例えば　2^n-1　はどう計算したら答えが導けるのでしょうか？＞＜

数IIの教科書は見たのですがよく分からず・・・
公式などあったら教えて下さい！

No.1 回答者： cable1037 回答日時： 2007/11/29 21:52

2^n-1の計算

ｎを整数とすれば
ｎが１のとき
2^1-1＝1　　　　2^0＝1と定義する　

ｎが2のとき
2^2-1＝2
ｎが3のとき
2^3-1＝2×2
ｎが4のとき
2^4-1＝2×2×2
ｎ－1個の　2をかけます

No.2 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:27

n が素数のとき、Mn = 2^n-1 の形をした自然数をメルセンヌ数という

No.3 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:29

2進数で表記するとn桁の1111…1の形になる。

No.4 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:32

また、メルセンヌ数が素数であるとき、そのメルセンヌ数をメルセンヌ素数という。

No.5 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:33

特にメルセンヌ素数に限りメルセンヌ数という場合もある。

No.6 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:35

1644年にマラン・メルセンヌは 2n -1 が素数になるのは、n ≤ 257 では、n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 だけであると発表した。

No.7 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:36

残念ながらその主張の一部は誤っていた。

No.8 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:38

リストには M61, M89, M107 が含まれておらず、M67, M257 は合成数であった

No.9 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:39

n が素数でなければ Mn は素数とならないが、n が素数であっても Mn が素数になるとは限らない。

No.10 回答者： dfhsds 回答日時： 2007/11/29 23:41

Mn = 2n - 1 が素数であるならば、2n - 1(2n - 1) は完全数となる。