教えてください。

２つの２次方程式ｘ^2－(ａ＋４)ｘ＋５ａ＝０・・・(1)、ｘ^2＋(ａ－２)ｘ－５ａ＝０・・・(2)がただひとつの共通解を持つようにａの値を定め、また、その共通解を求めよ。

という問いの解答で共通解をαとおき与式(1)(2)に代入して連立させて解きますが、ここで疑問があります。与式(1)(2)に代入した後、(1)＝(2)となり(1)－(2)としていいのはわかりますが、(1)＋(2)としていいのはわかりません。なぜ(1)＋(2)としていいのですか？教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： milkysugar 回答日時： 2002/09/12 23:52

うーん．＃１の回答で完璧ですが，もうちょっと分かりやすい説明がほしいかもしれないですね．特にvikkyiさんが中高生だとしたら．

(1)(2)が共通解cを持つ場合，
c^2 - (a+4)c + 5a = 0 …(1')
c^2 + (a-2)c - 5a = 0 …(2')
となります．
ここで(1)+(2)というのは，つまり
「(1')も(2')も成り立っていたら，二つの式の辺辺を足したもの，つまり
(c^2 - (a+4)c + 5a) + (c^2 + (a-2)c - 5a) = 0+0　…(3)
も成り立っている」という意味です．
同様に(1)-(2)というのは
「(1')(2')が成り立っていたら，
(c^2 - (a+4)c + 5a) - (c^2 + (a-2)c - 5a) = 0-0　…(4)
も成り立っている」という意味です．

でも(3)だけ，あるいは(4)だけが成り立っていても(1')(2')が成り立つとは限りません．例えばc^2 - (a+4)c + 5a も c^2 + (a-2)c - 5a も1だったりすれば，(4)は成り立つけど(1')も(2')も成り立っていません．

ですが，(3)(4)が両方成り立っていたら(1')(2')は両方成立します．それは(3)+(4)，(3)-(4)がそれぞれ(1'), (2')の2倍にあたるからです．

この問題では「共通解がただ一つ」とあるので，aの値が求まったらそれを(1)(2)に代入して，本当に唯一の共通解か確かめるのが無難でしょう．

No.3 回答者： Mell-Lily 回答日時： 2002/09/13 01:27

(1),(2)は、それぞれ方程式ですから、

　(1)=(2)
という書き方は、意味を為しません。
　(1) ⇔ (2)
という書き方は、意味を為します。また、
　(1)の左辺=(2)の左辺
という書き方も、意味を為します。

等しい大きさの二つの数に、等しい大きさの数を加えても、引いても、やはり、二つの数は等しいわけです。

No.1 回答者： oshiete_goo 回答日時： 2002/09/12 22:22

＞(1)＝(2)となり

これは(一般には)正しくなくて, 単に共通解αを持つ独立な条件式(1),(2)があるだけなので,
線形結合(1)+(2)も(1)-(2)もいえます.
それぞれは必要条件です. (両方で(1)かつ(2)と必要十分になりますが.)
ここでは単に必要条件でよいのです.