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次の条件を満たす関数f(x)を求めよ。

F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2, f(1)=0
[F(x)は二次関数f(x)の1つの不定積分]
xの後ろの^2,^3は2乗、3乗の意味です。

この問題なんですが
f(x)=ax^2+bx+cとおくところまでは
わかったんですが、次からいくら考えても
分らないんで、解き方を教えて下さい。
お願いします。

A 回答 (3件)

 #1です。


 補足を拝見しました。

>F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。

 f(x)=ax^2+bx+cとおく方法でしたら、#2さんが言われるように恒等式で解きます。
  (左辺)=F(x)=(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d (d:積分定数)
  (右辺)=x(ax^2+bx+c)-2x^3+3x^2=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx

 ∴(a/3)x^3+(b/2)x^2+cx+d=(a-2)x^3+(b+3)x^2+cx
 ⇔2(a/3-1)x^3+(b/2+3)x^2-d=0

 ここで、上の式は任意のxに対して常に成立しなければならない(xについての恒等式な)ので、係数が0でなければなりません。
 ∴a/3-1=0、b/2+3=0、d=0
 ∴a=3、b=-6、d=0

 あとは、これらをf(x)=ax^2+bx+cの式に代入して、f(1)=0となるようにcを決めれば二次関数f(x)が求められます。


 あと別解(私ならこちらで解きます)ですが、与えられた積分方程式を微分してから解く方法もあります。こちらの方が置く文字が少ないので計算しやすいかと思います。
  F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2
  f(x)=f(x)-xf'(x)-6x(x-1)
 ∴f'(x)=6(x-1)  (任意のxに対して成り立たなければならないので)
 ∴f(x)=3x^2-6x+C (C:積分定数)
 ところで、f(1)=0より、C=3なので
 ∴f(x)=3(x-1)^2
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この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございました。
おかげでよく分かりました。

お礼日時:2007/12/14 16:13

>f(x)=ax^2+bx+cとおくところまでは


わかったんですが、次からいくら考えても
分らないんで、解き方を教えて下さい。

F(x)=∫f(x)dxと
F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2(ちなみに、この式は入力ミスかと)
から恒等式を作れば、解けます。
ただし、cだけは求まらないのでf(1)=0と上で求めたa,bから出します。

この回答への補足

F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。
すいません。
あと質問なんですが、F(x)=∫f(x)dxは
なぜ∫がつくんでしょうか?

補足日時:2007/12/13 23:48
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>F(x)=xf(x)-2x^2+3x^2



 x^2の項が2つありますが、合ってますか?

この回答への補足

F(x)=xf(x)-2x^3+3x^2の間違えでした。
すいません。

補足日時:2007/12/13 23:44
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