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はじめてにゃ。にゃんこ先生といいます。自作問題です。

にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。さらに、
x=αが解のときx=-b/(α+a)も解だったとします。

このとき、
x=-b/(α+a)が解にゃので、
x=-b/{-b/(α+a)+a)
=-b(α+a)/{-b+a(α+a)}
={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}
も解です。解は2つにゃので、x=αは2つ目の解か3つ目の解に一致します。

α=-b/(α+a)のとき、
α^2+aα+b=0

α={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}のとき、
{-bα-ab}/{aα+a^2-b)}=α
-bα-ab=aα^2+(a^2-b)α
aα^2+a^2α+ab=0
α^2+aα+b=0

これらのことは、おおまかには、
x=αが解のときx=-b/(α+a)も解となる解2つの方程式は、2次方程式x^2+ax+b=0に限られることを意味します。

では、x=αが解のときx=f(α)も解となる解3つの方程式が、3次方程式x^3+ax^2+bx+c=に限られるようにゃf(α)を教えてください。

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A 回答 (4件)

2次方程式と仮定して


> x=αが解のときx=-b/(α+a)も解だったとします
で、それが異なる2つの解を意味するなら、その方程式は
c≠0, c(x - α)(x + b/(α+a)) = 0
でしょう。

> このとき、
> x=-b/(α+a)が解にゃので、
> x=-b/{-b/(α+a)+a) ・・・(1)
> ・・・(略)
> も解です。
意味不明です。(1)は α = -b/(α+a) でなければ成立しません。
x = α と x = -b/(α+a)の両方が解であることと、 α = -b/(α+a) であることは別のはずでは?
よって、
> α=-b/(α+a)のとき、  ・・・(2)
> α^2+aα+b=0

> α={-bα-ab}/{aα+a^2-b)}のとき、 ・・・(3)
> ・・・(略)・・・
> α^2+aα+b=0
は意味がありません。α = -b/(α+a) を単に式変形しているだけの話で、もとの方程式とは何ら関係がありません。

3次方程式の件は、3つめの解が何でもありなんだから、3次方程式が一つに定まるはずもないでしょうに。どんなf(α)をもってきても、c(x - α)(x - f(α))(x - β)=0 という方程式を任意のcとβで作れる。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿しました。

そこで、にゃんこ先生が感じている疑問を理解いただけると思います。

お礼日時:2007/12/14 23:29

少なくとも f(α)=-c/(α^2+aα+b) ではうまく行かないことはにゃんこ先生も確認済みでしょうが、


ということは、難しいでしょうね。

不可能なことの証明は・・どうかな・・?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿する予定です。

お礼日時:2007/12/14 23:10

>x=αが解のとき、x=-b/(α+a)も解となる解2つの方程式は、2次方程式x^2+ax+b=0に限られることを意味します。


α=1,a=2,b=6 とすると -b/(α+a)=-6/(1+2)=-2 だから
x=1 と x=-2 を解にもつ2次方程式は、x^2+2x+6=0 になるってことですか?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

>α=1,a=2,b=6 とすると

a=2,b=6 とするのはいいとしても、α=1とするのはよくにゃいです。

根拠とにゃった問題を、改めて投稿する予定です。

お礼日時:2007/12/14 23:09

すみません。

二行目の
>にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。
というのは、「複素数解が2つだけ存在する」ということでしょうか?
それとも、「実数解が2つだけ存在する」という意味でしょうか。
また、二次方程式の解が重解である場合は、解が一つとして数えるのでしょうか。


>解は2つにゃので、x=αは2つ目の解か3つ目の解に一致します。
「3つ目の解」とはどういう意味でしょうか?察するに「解が3つ存在する」ということになり、前提である「にゃにかある方程式があり、解を2つ持つとします。」に反しているように思えるのですが・・・。
そもそも1つ目の解とは何を指すのでしょうか?

私は読解能力が乏しいのでそのあたりの解説をお願いします(^_^;
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
とりあえず複素数解を考えていました。
とりあえず、ややこしいので、異なる解と想定していました。

根拠となった問題を、改めて投稿する予定です。

お礼日時:2007/12/14 23:08

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