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確率変数 {X_i}n=1,‥‥
は{s_i}(iは1からmの自然数、s_iは実数値)の値をとる。
そして各iに対してp(s_i)の値を定める。(p(s_i)の和は1で、0以上1以下)
このとき、確率変数 {X_i}n=1,‥‥が独立であることが知りたいです。

すいません宜しくお願いします。

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A 回答 (3件)

再びNo1です。



「公平なコインを投げる」とかいた時点で、
n回目のコインが裏か表かについては、
独立であることを仮定しています。
なので、
P(∩{X_a=s_a})も(1/2)^nとなります。
1回目が表のときに、2回目の表裏の確率が変わる、
なんてことが起こっていたら、公平とはいえませんからね。

なので、補足に書かれてある質問は、
明らかに独立だと言えます。
(「公平」というところに独立性を仮定しているから)
でも、あえて独立であることを式で書くなら、
No2で書いたことを示すのですが、
結局左辺の計算で独立性を使うので、
あまり議論をする意味がありません。

では、公平なコインの裏表に関する確率変数は
常に独立になるかといえば、そういうわけではありません。
たとえば、
1回目表⇒x1=1、1回目裏⇒x1=0、
1回目表2回目表または1回目表2回目裏⇒x2=1、
1回目裏2回目表または1回目裏2回目裏⇒x2=0、
という確率変数x1、x2を考えると、
P(x1=1,x2=1)=P(x1=1)=1/2、
P(x1=1)P(x2=1)=1/2×1/2
となり、独立ではありません。
この例は、x1もx2も1回目の裏表だけに依存して確率が決まるので
定義からも独立でないことはわかりますが、
このように、確率変数をどう作るかによって
(もともとの事象には関係なく)独立性は変化します。

ちなみに、本質的なことではありませんが、
「P(∩{X_a=s_a})」と
「任意のaに対してP(X_1=s_1,X_2=s_2,…,X_a=s_a) 」
は違います。
たとえば、aが偶数の集合の中を走るとしたら、2つ目は、
「P(X_2=s_2,X_4=s_4,…) 」
となるからです。細かいですけど。。。
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この回答へのお礼

わざわざ返信ありがとうございます。
具体的な例を紹介してもらったおかげで、確率変数のとり方によって、独立性が変化することの理解が深まりました。
まだ、確率変数、分布に対する定義の理解が不十分なので、根本から見直していこうと思います。

お礼日時:2007/12/15 15:55

No1です。


補足を見たので追記します。

捕捉に書かれているものであれば、
次をチェックすればOKです。

P(∩{X_a=s_a})=ΠP({X_a=s_a})
ここで、∩とΠはaについてはしるとし、
aはA(自然数全体の集合の、任意の部分集合)の中をはしり、
s_aは0か1をあらわすとします。

ただ、この式は、
両辺とも、(1/2)^n(nはAの要素数)なので成り立つから、
独立であることがいえます。

独立の定義を見て、それをチェックするだけです。
ウィキペディアの参考ページも見てください。

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87% …

この回答への補足

返信ありがとうございます。
右辺は(1/2)^{n}は明らかなもですが。
左辺をどのように考えるのでしょうか?

P(∩{X_a=s_a})
書き換えると
任意のaに対して
P(X_1=s_1,X_2=s_2,…,X_a=s_a) (s_aは0または1)となると思うんですが 
この値とはどう考えればいいでしょうか?

補足日時:2007/12/15 13:35
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結論からいうと、これだけではわかりません。



独立というのは、簡単にいうと、
変数の分布が他の変数の影響を受けないということです。

たとえば、
コインを投げて表が上だったら1、裏が上だったら2となる
XとYという確率変数があって、
P(X=1)=P(X=2)=1/2
P(Y=1)=P(Y=2)=1/2
としましょう。
このとき普通であれば、XとYは独立ですが、
もしコインの表同士が糊で貼りつけられていたら、
P(X=1、Y=2)=P(X=2、Y=1)=1/2となり、
P(X=1)×P(Y=2)=1/4と等しくならず、
独立とはいえなくなります。
(コインがくっついていることからも
 独立でないことは直感的にわかりますが)

つまり、それぞれの確率変数の分布を与えるだけでは
その確率変数の独立性は得られず、
複数の確率変数の分布が与えられないと、
独立性のチェックができないということです。

この回答への補足

返信ありがとうございます。
すいません、少し教えてほしいのですが。
公平なコインを無限回投げる試行を考えます。
表が出れば1裏が出れば0 P_0=1/2 P_1=1/2
標本空間Ω={0,1}^{N} (2点0,1の片側無限列)
Ωの任意の要素ωに対して、ωの第n座標をX_n(ω)とします。
このとき確率変数列{X_n(ω)}n=1,2,…は独立であるか確かめたいのですが。どうすれば、よろしいでしょうか?

補足日時:2007/12/14 22:45
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