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「兄と弟のはじめの所持金の比は14:11。その後使ったお金の比が9:7。このようにすると二人の所持金はどちらも200円になります。兄のはじめの所持金はいくらだったでしょうか。」という問題があるのですが、私は、14:11を28:22と表し、9:7を27:21と表し2つを比べるとその差が1:1となるので、1あたり200円なので、200×28で5600円と出しました。合っているでしょうか?
この比の説明をもう少し上手に説明したいのですがどうしたらよいでしょうか。

A 回答 (6件)

まず、質問をされる際に、「小学生に解ける(解る)ように説明を・・・」との一文を入れた方が良かったですね。


問題ない用から、どうしても連立方程式での計算が説明も簡単である分、回答された方々が少々可哀相に思われます。

既に回答に出ていますが、「消去算」を使われるのが良いかと思います。具体的に説明させていただきますと。。。

最初の所持金は
兄:弟=14×○円:11×○円
使ったお金は
兄:弟=9×△円:7×△円

兄 14×○-9×△=200
弟 11×○-7×△=200

ここから消去算を使います

△を消そうと思います。

兄の方に7、弟に9をかけます
兄 98×○-63×△=1400
弟 99×○-63×△=1800

弟-兄 ○=400円

兄の最初の所持金は、14×○ですから
1400×400=5600円
となります。


消去算についてはこちらをご参照ください。
http://www.manabinoba.com/index.cfm/4,1364,73,ht …
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きわめて「せこい」やり方ですが,連立方程式のxやyを,○や△などのなかに数字を入れる形で答案を書けばいいかもしれません。


ここからは記憶が曖昧なのですが,「消去算」というのが,連立方程式を解くことの本質,すなわち「パラメータを【消去】する」というのを小学生向けにだったような気がします。「消去算」をたてに,連立方程式と同じようにやれば良いのではないでしょうか。
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xを使わず、考えてみましょう。



ポイントは、はじめの所持金の差に注目することです。

兄と弟のはじめの所持金の比が14:11なので、
兄と弟のはじめの所持金の差は、
はじめの所持金を基準に考えると、「3」になります。

使ったお金の比が9:7で、
使った後の所持金が同じになるということは、
兄と弟のはじめの所持金の差は、
使ったお金を基準に考えると、「2」になります。

まとめると、はじめの所持金の差は、
はじめの所持金を基準に考えると、「3」、
使ったお金を基準に考えると、「2」。
両方とも同じものを表しているにもかかわらず、
違う数字になっているのは、基準が異なるからです。
この基準を合わせるには、
はじめの所持金を基準に考えても、
使ったお金を基準に考えても、「6」になるようにすれば
基準が異なることをカバーできます。

実は、質問者が14:11を28:22、9:7を27:21としたのは、
「基準を合わせる」ということをされているのです。
この「基準を合わせる」というのは、
目新しいことに思うかもしれませんが、
実は今までにもすでに経験されていると思います。
これは、「分数の通分」と同じです。
通分は、たとえば、1/2+1/3は、3/6+2/6としますが、
これは、分け方を合わせる、基準を合わせるということにほかなりません。
この問題では、
兄と弟のはじめの所持金の差を、
はじめは3つに分けていて、後半では2つに分けていて、
両者の基準を合わせないと比較ができないので、
通分のような作業をしないといけないわけです。
別に6になるようにしなくても、
12でも、24でもどのように合わせてもいいです。
それは、通分した時の分母を最小公倍数に合わせなくてもいいのと
同じ理由です。

この「基準を合わせる」という作業をすると、
お金を使った後の所持金「200円」というのが生かされます。
兄の所持金について考えれば、
28-27=1が200円にあたるので、
はじめの所持金は200×28=5600円となります。
この28-27ができるのは、
「基準を合わせる」という作業をしたからです。
基準があっていないと
通分をしていない分数の引き算ができないのと同様に
引くことはできません。
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流れとしては合っていると思います。

ただ何故この作業をやるのか、説明する必要があると思います。余った金額が200円と同じであるわけですから、14:11のそれぞれから同じ数値を引いて数が、9:7になると考えればいいわけです。そのさい9:7の数値が整数対整数になったほうが、面倒がなくていいでしょう。そのために14:11ではそれが無理なので、倍、3倍としていくとしたらどうでしょう。そこであなたが導きだしたように、倍にして28:22なら同じ1を引いた数値が27と21で9:7になるという考え方です。あとの作業は文章の通りです。小学校の問題なら数値がまとまるように出来ているでしょう。
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答えは合ってますが、偶然でしょう。


もし、残った金が、一対一でなければ、間違った答えになるような
気がします。
解いてみたので、参考にして下さい。
ただ、間違ってたらごめんなさい。。

まず、はじめの所持金が14:11なので、両方にAという数をかけてみる。
兄が持っている金=14×A(円)
弟が持っている金=11×A(円)

次に使った金は9:7なので、次はBをかけてみる。
(つまり、比率に、なにか定数をかけてやれば、金額を「置き換える」ことができる)

兄が使った金=9×B
弟が使った金=7×B

そして、それぞれの所持金から、それぞれが使った金を引くと、
両方とも200余ったので、次のような式が成り立ちます。

(14×A)-(9×B)=200・・・・(1)
(11×A)-(7×B)=200・・・・(2)

この式では、値が分からない文字が二個ありますね。(AとB)
しかし、二個式があるので、解くことができます。
とりあえず、Bを消してみましょう。

(1)に7をかけて、(2)に9をかけてみましょう。

そうすると、
(7×14×A)ー(7×9×B)=200×7・・・・(1)×7
(9×11×A)-(9×7×B)=200×9・・・・(2)×9

となり、整理すると

(98×A)ー(63×B)=1400・・・・(3)
(99×A)-(63×B)=1800・・・・(4)

となります。
次に、(4)から(3)をひいてやると、きれいに消えますね。

A=400
となりますので、
兄の所持金は、14×400=5600となるのではないでしょうか?
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この回答へのお礼

おお!!とってもきれいですね☆
でも、文字が入り、(3)から(4)を引くときは完全に連立方程式のような考えになっているので、これだと小学校の範囲を超してしまい、だめなんです。
すみません、説明不足でした。
でも、本当にありがとうございました☆

お礼日時:2007/12/15 11:28

>この比の説明をもう少し上手に説明したいのですがどうしたらよいでしょうか。



最初の所持金は 兄 14x 弟 11x
使った金額は 兄 9y 弟 7y

結果どちらも 200 円になるので

14x - 9y = 200
11x - 7y = 200

これを変形して

28(x/2) - 27(y/3) = 200 … (1)
22(x/2) - 21(y/3) = 200 … (2)

(1) - (2) を計算すると、6(x/2 - y/3) = 0 これが「その差が 1:1」の数式だね。

x/2 と y/3 は等しいから、(1)式から x/2 = 200

兄の所持金は 14x = 28(x/2) = 5600 円

。。。比のまま計算するのは私には無理です。
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この回答へのお礼

なるほど☆☆これだとすっきりです☆。
しかし…この問題、x使ってはいけないのです…。すみません、説明不足でした。
でも、ありがとうございました☆

お礼日時:2007/12/15 11:09

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