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『2点(5、1)、(-2、8)を通り、X軸に接する円の方程式を求めよ』という問題で、回答の方針がたちません。(X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2を使うのか一般形を使うのかすら判断できません。宜しくお願いします。

gooドクター

A 回答 (6件)

(1)この手の問題は、一般形では解いた事がなかったので解いてみました。


(2)標準形では、ちょっとした綾があります。
(3)ピタゴラス数(3,4,5)、(5,12,13)が、見え隠れします。

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>>(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2
>>x軸に接する。→ r= |b|

ここが綾です。
 bが算出された後で,r=|b| とするか、
 二点のy座標が正であるから、
 円はx軸より上(x軸を含んで)にあるから、
 最初からr=bと書いても良いとも思われます。
 (問題によっては、r=-bもあり得ます。)

  (x-a)^2 + (y-b)^2=b^2

 この式から出発すれば上記の事は・・・。
 
>>(5,1), (-2,8)を通る。

  (5-a)^2 + (1-b)^2=b^2
  (-2-a)^2 + (8-b)^2=b^2

  [25-10a+a^2]+[1-2b+b^2]=b^2
  [4+4a+a^2]+[64-16b+b^2]=b^2

  26-10a+(a^2)=2b → 208-80a+8(a^2)=16b
  68+4a+(a^2)=16b

  208-80a+8(a^2)=68+4a+(a^2)
  7(a^2)-84a+140=0
    (a^2)-12a+20=0
      (a-2)(a-10)=0

  (a,b,r)=(2,5,5),(10,13,13)

  (x-2)^2 + (y-5)^2=25
  (x-10)^2 + (y-13)^2=169
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>>一般形をつかうとL、m、nの三つが出てきてしまうし。

(x^2)+(y^2)+Lx+my+n=0・・・(0)

 円とx軸の交点(接点)を考えると、
 y=0 と置けば交点(接点)の式になります。

 (x^2)+Lx+n=0

 ここで、条件より ’接点’だから、重解を持つ事になって、
 判別式がゼロになります。

 D=0
 (L^2)-4n=0・・・(1)

    (0)に (5,1), (-2,8)を代入して

 26+5L+m+n=0・・・(2)
 68-2L+8m+n=0・・・(3)

(1)(2)(3)で解ける事になります。

 手順としては、mを消去して、nをLで表して、
 (1)に代入して、Lの二次方程式になります。

   208+40L+8m+8n=0
     68-2L+8m+n=0

     140+42L+7n=0
        20+6L+n=0

       -n=6L+20
      -4n=24L+80

    (L^2)+24L+80=0
    (L+4)(L+20)=0

 (L,m,n)=(-4,-10,4),(-20,26,100)

 x^2+y^2-4x-10y+4=0 →(x-2)^2+(y-5)^2=25
 x^2+y^2-20x+26y+100=0 →(x-10)^2+(y-13)^2=169

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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
丁寧でわかりやすかったです。

お礼日時:2007/12/20 01:30

> 一般形をつかうとl、m、nの三つが出てきてしまうし、


補足にあなたのやった解答をかいてくれないとl,m,nが何だか分かりません。

> (X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2だとaもしくはbだけの式にできないのです。
やった事の解答を不完全でも書かないと分かりませんよ。
一般形を使うなら、X軸に接する条件を入れた式を使ってみては?
中心のY座標がb半径がr,X軸に接するからr=bです。
円の式は

  (X-a)^2 + (Y-b)^2=b^2 

と書けますよ。
この円が2点(5、1)、(-2、8)を通るから、
点の座標を代入してやれば、a,bの関係式が2つ出来ませんか?
a,bはその2つの関係式を連立させて解けば出てこないですか?

2組の(a,b)が出てきますので、求める円は2通り出てきます。
解法は他の方がアドバイスしてみえるような方法など、何通りもあります。
まず、自分で思いつく方法で必ずできると思って解答を作ってみることが大切です。分からなくなって行き詰ったら、その未完成の解答を補足に書いてわかからない箇所を質問して下さい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
拙い質問ですみませんでした。

お礼日時:2007/12/20 01:30

x軸に接するとき、中心の座標と半径には何か関係は


ないでしょうか?
例えば、(x-2)^2+(y-5)^2=5^2はx軸に接しますよね。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ピンときました。

お礼日時:2007/12/20 01:29

円の中心は2点A(5,1),B(-2,8)の垂直2等分線上にある。


この直線の方程式をy=ax+bとすると、円の中心Oは(x,ax+b)と表せる。
Oからx軸に下ろした垂線の長さは|ax+b|で、これが円の半径だから、
|ax+b|=OA=OBとして、xが決まり、円の中心が決まる。
条件を満たす円は、小さい円と大きい円の2つがあるようです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
大変参考になりました。

お礼日時:2007/12/20 01:28

すぐに答えを得ようとするな。


そして具体的にどこまでできて、何が行き詰まっているかを書け。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
がんばってみます。

お礼日時:2007/12/20 01:27

>(X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2を使うのか一般形を使うのかすら判断できません。


思い付いた方法でまずやってみてから、再度質問するがいい。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すでにやってみたのですが途中で行き詰ってしまいました。一般形をつかうとl、m、nの三つが出てきてしまうし、(X-a)^2 + (Y-b)^2=r^2だとaもしくはbだけの式にできないのです。
どうしたらいいのでしょう?

お礼日時:2007/12/18 01:14

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