半減期の一次反応について

なぜ一次反応では、反応99.9％ 起こるのに要する時間は反応が半分進行するのに要する時間の10倍なんでしょうか？

公式とかいろいろ見ましたが意味がわからないので、どなたかご教授お願いします…。

No.4 ベストアンサー 回答者： connykelly 回答日時： 2007/12/20 20:53

一次反応は微分方程式で書くとdA/dt=-kAとかかれますね。

t=0の時の[A]の初期値をA0とすると上の微分方程式を解いてA=A0exp[-kt]となります。両辺の自然対数をとると
ｌｎ(A/A0）=-kt、ｔ=-(1/k)ｌn(A/A0)=(1/k)ｌn（A0/A)
半減期はA/A0=(1/2)の時ですからその時の時間をｔ’とするとt'=(1/k)ln2≒0.693/k、これから
k=0.693/t'が得られます。これを元の式の入れるとA/A0=exp[-0.693（t/t')]となります。今99.9%反応が進んだとすると未反応物は0.1%残っていますからA/A0=0.001ですね。その時間をTとすると0.001=exp[-0.693(T/t')]で、これからT/t'を求めれば良いわけで、ln0.001=-0.693(T/t')⇒T/t'=(1/0.693)ｌn(1/0.001）=9.967≒10と半減時間の10倍になります。

No.5 回答者： noname#57316 回答日時： 2007/12/21 21:59

一次反応の反応物質の濃度変化は、反応物質の濃度を C、当該反応に係わる

反応物質の半減期を T、とすると
C=C_0・{(1/2)^(t/T)}
と表わされます。C_0 は、反応物質の初期の濃度です。

反応速度は、
-dC/dt=k・C
ですから、
k=(-dC/dt)/C
と表わせて、
dC/dt=(d/dt)〔C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]〕
=C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]・{ln(1/2)/T}
=-C・{ln(2)/T}
より、
k=(-dC/dt)/C=ln(2)/T
となります。

さて、反応が 99.9% 進行するというのは、単位時間あたりの反応速度の積分が、
全反応量の 99.9% ということで
〔∫[0→t]k・Cdt〕/〔∫[0→∞]k・Cdt〕=0.999
のことですね。

この反応量になる時の時間、t を半減期 T で表わしてみます。
∫[0→t]k・Cdt
=∫[0→t]k・C_0・[e^{(t/T)・ln(1/2)}]dt
=∫[0→t]k・C_0・{e^(-kt)}dt
={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→t]
=C_0・{1-e^(-kt)}
また、
∫[0→∞]k・Cdt={k・C_0/(-k)}・{e^(-kt)}[0→∞]
=C_0

∴　1-e^(-kt)=0.999
e^(-kt)=0.001
T を用いて表わすと
e^{(t/T)・ln(1/2)}=(1/2)^(t/T)=0.001
t/T は半減期の何倍に当たるかを示しており、対数を取ると
(t/T)=log(0.001)/log(1/2)
=(-3)/(-0.3010)≒10

つまり、反応が 99.9% 進行するには、約 10 半減期かかる、
ということが示されました。

No.3 回答者： w-palace 回答日時： 2007/12/20 08:15

半減期で２分の１になるので、その２倍の時間で４分の１になります。

３倍の時間では８分の１、・・・と考えれば１０倍の時間で１０２４分の１になることがわかります。
ということは、おおむね0.1％が残っていることになり、99.9％進んだことになります。

No.2 回答者： doc_sunday 回答日時： 2007/12/20 06:13

一次反応の微分方程式は

d[C]/dt=-k[Ｃ]
変形して
d[C]/[C]=-kdt
積分して
ln[C]=-kt+Ｘ　Ｘは定積分の定数
[C]=exp(-kt+X)
[C]_0=exp(X)　[C]_0は初濃度
で
[C]=[C]_0exp(-kt)
半減期は
1/2=([C]_1/2)/[C]_0=[C]_0exp(-kt_1/2)
ln(1/2[C]_0)=-kt_1/2
-ln2[C]_0=-kt_1/2
99.9％とは残り0.1％=0.001=1/1000
1/1000=[C]_0exp(-kt_1/1000)
ln(1/1000[C]_0)=-kt_1/1000
-ln1000[C]_0=-kt_1/1000
（t_1/1000)/(t_1/2)=ln1000[C]_0-ln2[C]_0
=ln1000-ln2=ln500=6.2146080984221917426367422425949…
10倍じゃないですね。大体0.1％って1/２の累乗じゃないし、１０なんていうきれいな値になる筈ないんですよね。^o^
間違ってたらごめんなさい、しばらくやってない算数だし朝早いんで呆けてるから。
m(_ _)m

No.1 回答者： keiii1i 回答日時： 2007/12/20 05:25

一次反応A→Bというものです

今Aが100個あり1秒間に50％確立でBになるとします
　 A
1秒後　　50　←半減期
2秒後　　25
3秒後　　12.5
・・・
10秒後　 0.097

となります　秒数、確立を変わっても同じことになります
すべての半減期が99.9％になる1/10になるかは知りません