以下に書く問題の答えを教えてください!

a^0=1, a^1=a, a^n=a(a-1)…(a-n+1), n>1とする。以下の等式を証明しなさい。

n n
   (a+b)^n=Σ( )a^k・b^(n-k)
k=1 k

どうか助けて下さい。お願いします。

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A 回答 (5件)

stomachmanさんの証明はaの階乗を使っているのでa,bが自然数の場合にしか


使えませんが、 a^nの定義は a,bが任意の実数(または複素数)の場合でも
意味を持つので、証明はその場合でも通用するようにしなくてはいけません。
もちろんこの公式はa,bが一般の複素数の場合でも成立します。

なお記号^を使うとどうしても巾の様に見えてしまうので、この演算の記号として
ここでは^の代わりに@を使うことにします。また総和記号に上つき下つき文字を
書くのはここでは面倒なので 変数kについて1からnまでの総和をとることを \sum_{k=1}^{n}と書きます。

この手の問題を証明するのはやはり帰納法が一番オーソドックスです。
n=1の場合は両辺ともa+bになりますね。そして一般の場合は

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))
      = \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k)       …(*)

を証明できればよいですね。

まず次の公式を用意します。これらは定義から直接示せるので証明はしません。
また最後の公式は二項定理に関連してどんな本にも載っているはずです。
(a-k)×a@k = a@(k+1)
(b-n+k)×b@(n-k) = b@(n-k+1)
b@(n-k) = b@((n+1)-(k+1))
nCk + nC(k+1) = (n+1)C(k+1)

さて(*)を証明します。

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))          …(1)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a+b-n) (a@k)(b@(n-k))         …(2)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a-k)+(b-n+k)} (a@k)(b@(n-k))     …(3)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a@(k+1))(b@(n-k)) + (a@k)(b@(n-k+1))}     …(4)

= (nC0)(a@0)b@(n+1)
   + \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@(n-k)){nCk + nC(k+1)}
              + (nCn)(a@(n+1))(b@0)       …(5)

= ((n+1)C0)(a@0)b@(n+1)
   + \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@((n+1)-(k+1))) (n+1)C(k+1)
              + ((n+1)C(n+1))(a@(n+1))(b@0)       …(6)


= \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k)               …(7)


以上ですがかなり急いで書いたので計算間違いなどあるかも知れません。
もともとこの掲示版は数式をきれいに書けるようなものではないので
人の回答を鵜呑みにせず、必ず自分のノートにきちんとした記号で
書き写して計算をチェックして下さい。
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この回答へのお礼

解答をありがとうございました。
二つの解答を参考にして自分なりの解答を作っていきたいと思います。
本当にありがとうございました。

お礼日時:2001/02/05 09:37

stomachmanです。



oodaiko先生 < なるほど仰る通りですネ。 f(^^;;

 oodaiko先生は、nが非負の整数、aが負の整数の場合には
a^n=a(a-1)…(a-n+1)
は定義されるけど
n! aCn = a!/(a-n)!
は!をどう解釈したって右辺のa!, (a-n)!が定義されないという事を仰っています。だから
(a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) (Σはk=0,....,n)--- (1'')
もダメ。Γ関数なんてイイノガレもΓ(n)はn=0,-1,-2...が極ですから値が定義されなくてダメ。負整数のn!を定義してもいいけどその場合も(1'')の証明をやり直さなくちゃダメ。
 逆に言えば、aCn = a@n / n!と定義しなおせば恒等式(1'')が成り立つことを、oodaiko先生の証明が示しています。
 この証明を見た上で
 (a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) (Σはk=1,....,n)--- (1)
に戻って考えますと、gachapinさんのご質問のタイトル通り、これはまさしく一般化された二項展開に他ならない。a,bは普通の数である必要はないし、演算+,×も普通の和や積である必要はなく可換環Aなら良い。(ただしnCkの中身とn-kの所は普通の数の計算。)そして冪^も
a^0 = I (単位元)、a^n = f(a,n)×{a^(n-1)}
f: A×N → A、f(a,n)+f(b,m)=f(a+b,n+m)
という形なら何でもアリ。こういう風に冪が一般化できるとは面白いですね。
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stomachmanさん<


>a! = Γ(a+1)
>で何の不都合も無いと思いますヨ
ということはaを一般の複素数としたときは
a@n = Γ(a+1)/Γ(a-n+1)
と解釈するのでしょうか。

でもgachapin さんの定義ではすべての複素数 a と自然数 n
に対して a@n が定義でき、しかも有限な絶対値を持つのに
この解釈だと a+1が0か負の整数の時は不確定になってしまいますね。

そして、証明すべき式でも、
例えば a+b が -1以下の整数で、かつ aとbが整数でない場合に
右辺は有限値で確定しますが、左辺は不確定になります。
それとも私の解釈が間違っているのでしょうか。

あと私の証明ですが、(4)から(5)への式変形が分かりにくいと思うので補足します。
(4)式で中括弧の部分を展開すると

\sum_{k=0}^{n} {(nCk)(a@(k+1))(b@(n-k)) + (nCk)(a@k)(b@(n-k+1))} 

となります。ここでkについての第1項( (nCk)(a@(k+1))(b@(n-k)) の部分)
と k+1についての第2項( (nCk)(a@k)(b@(n-k+1) の部分)を k=0からk=n-1
まで足したものが (5)式の第2項です。
あとは k= 0のときの第2項とk=n の第1項が残りますが、
それが(5)式の第1項と第3項です。
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oodaikoさん<


うーん....お言葉ですけど、aが自然数でなくても
a! = Γ(a+1)
で何の不都合も無いと思いますヨ。
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●半角使ったのかスペースがずれちゃってるけど、


(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) (Σはk=1,....,n)--- (1)
という意味かな。ここにnCk = n!/k!/(n-k)!
つまりa^k = a!/(a-k)! = k! (aCk)という意味。

●まず、これ、n=1で成り立ちますか?
(a+b) = Σ(1Ck) (a^k) (b^(1-k)) =(1C1) (a^1) (b^(1-1)) =a。
だめじゃん。

●どうやらΣはk=0~nまで取らなきゃいけないようです。
(a+b)^n = Σ(nCk) (a^k) (b^(n-k)) (Σはk=0,....,n)--- (1')
これを整理すると、
n!((a+b)Cn) = Σ(n!/k!/(n-k)!) k!(aCk) (n-k)!(bC(n-k))
よって、
(a+b)Cn= Σ(aC(k))(bC(n-k)) (Σはk=0,....,n)--- (1'')
これは公式
(n+m)Cp = Σ(nCr)(mC(p-r)) (Σはr=0,....,p)
にドンぴしゃ。
Q.E.D.
で宜しいかな?問題間違えぬようにお願いしますよぉ~(^^;
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この回答へのお礼

解答をありがとうございました!とても助かりました!!
これでなんとかなります!本当に助かりました!!
問題を間違えちゃってすみません。。。
次回は間違えないように気をつけます。
本当にありがとうございました!!

お礼日時:2001/02/05 00:49

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Qブルーツースの使い方について教えて!

カーショップでハンズフリー?耳に付けて車の中で電話が出来るブルーツース?が売っていた(¥3000~¥7000/1ヶ位)のですが使えるようにするにはどうゆう事をすれば良いのですか?何か契約をするのですか?多分携帯電話を使うのでしょが、ちなみに docomo P902I ブルーツース機能搭載のモデルを使用しています。1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。2.車の中でわざわざ携帯電話を取り出さなくても会話をしたい。(出来れば耳に付けなくても会話が出来るような方法もありますか?)3.料金は発生しますか?4.使用している人は、けっこういますか?(皆さん使っていますか?)ブルーツースについては、これくらいしか知らないけど教えてください。

Aベストアンサー

BlueTooth機器を使用する場合…

まず最初に、「ペアリング」という機器間の認証作業が必要です。
これが出来れば、後はお互いが通信するだけです…が、このペアリングで引っ掛る
方が時々いらっしゃいますので、御気をつけください。
 #私は耳掛けタイプを使用しています。
 #掛かってきた電話を取り出さずに、耳につけた機器のスイッチでオフフック
 #してます。

>1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。
→上記のように、ペアリングさえ正常に出来れば、直ぐに使用できますよ。
 但し、機器にも相性があるようですので、色々評判を検索した方がいいかも
 しれません。

>2.車の中でわざわざ携帯電話を取り出さなくても会話をしたい。(出来れば耳に付けなくても会話が出来るような方法もありますか?)
→機器によります。
 サンバイザーにスピーカ、Aピラーにマイクをセットする様なのを探せば
 出来ると思います。

>3.料金は発生しますか?
→発生しません。
 あくまで、「携帯と機器間の通信」ですから。

>4.使用している人は、けっこういますか?(皆さん使っていますか?)
→私の周りでは、私位ですかね。使用しているのは。
 ただ、前に走っていた時は、時々、耳掛けタイプの機器をつけている人を
 見かけましたけど。
 #最近は車で走ってないので判りにくいですが、普通に、イヤホンの代わりに
 #使用されてる方は多いようですね。(歩いていると、時々見かけます)

尚、P902iは通常の携帯の会話以外に、携帯内部の音楽を再生にもBlueToothが
使用できますので、そういう使い方がしたい場合は、プロファイルに
 ・A2DP
 ・AVRCP
をサポートしている機器を購入されるのがいいかと思います。
 参考:http://bluetoothmaniax.net/wiki.cgi?page=Bluetooth%A5%D8%A5%C3%A5%C9%A5%BB%A5%C3%A5%C8+%A5%E1%A1%BC%A5%AB%A1%BC%B0%EC%CD%F7

BlueTooth機器を使用する場合…

まず最初に、「ペアリング」という機器間の認証作業が必要です。
これが出来れば、後はお互いが通信するだけです…が、このペアリングで引っ掛る
方が時々いらっしゃいますので、御気をつけください。
 #私は耳掛けタイプを使用しています。
 #掛かってきた電話を取り出さずに、耳につけた機器のスイッチでオフフック
 #してます。

>1.せっかくブルーツース機能があるので利用したい。
→上記のように、ペアリングさえ正常に出来れば、直ぐに使用できますよ。
 ...続きを読む

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

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F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
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Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。

Qブルーツース

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Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Qブルーツースでのマウスの接続について

  
 ブルーツースについて質問します。

 今、Windows 7 のタブレットを使用しています。
 ブルーツースでキーボードを繋いでいますが、
更にマウスもブルーツースで接続したいと考えています。
 同時に2個のデバイスの接続は可能なのでしょうか。
 
 宜しくお願いします。

Aベストアンサー

2台なら大丈夫でしょう。
規格上は最大7台までとなっているようですが、私の経験では不具合無く使えるのは3台までですね。

QR^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
から先に進めません。
λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=Σ[n=1..∞]λ(∪[k=n..∞]A_k)なんて変形もできませんよね。
どのすれば=0にたどり着けますでしょうか?

(イ)について
答えは多分Yesだと思います。
Lebesgue可測集合はL:={E∈R^n;E⊂Uでinf{λ^*(U\E);Uは開集合}=0}の元の事ですよね。
なのでLebesgue測度は制限写像λ^*|L:=μと書けますよね。
それで∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lを示せば(ア)からLebesgue測度0が言えると思います。
今,(ア)より
inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}=0
と分かったので
0=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(但しBd(I_i)は境界点)
=inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
(∵||の定義)
からinf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となればI_i\Bd(I_i)は開集合になので
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}=0が言え,
∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k∈Lも言え,
μ(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=λ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=0(∵(ア))
となりおしまいなのですが

inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|+|Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)∪Bd(I_i)}
から
inf{Σ[i=1..∞]|I_i\Bd(I_i)|;∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k⊂∪[i=1..∞]I_i\Bd(I_i)}
となる事がどうしても言えません。どうすれば言えますでしょうか?

よろしくお願い致します。

A_1,A_2,…をΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たすR^nの部分集合とせよ。
(ア) ∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kがLebesgue外測度0を持つ事を示せ。
(イ) これはLebesgue測度0を持つか? 持つなら理由を述べよ。

という問題です。

(ア)について
Lebesgue外測度の定義からλ^*(A_k)=inf{Σ[i=1..∞]|I_i|;A_k⊂∪[i=1..∞]I_i}…(1)
(但しI_iはn次元区間塊[a_1,b_1]×[a_2,b_2]×…×[a_n,b_n])と書け,
題意よりΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞なのでλ^*(A_k)<∞と分かる。
それでλ^*(∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_k)=inf{Σ[i=...続きを読む

Aベストアンサー

数列の部分和の定義と∩∪の定義からすぐだと思いますよ。
面倒なので外測度を単にλで表します。
仮定はΣλ(A_k)<∞です。これは級数の収束の定義から部分和
S_N=Σ[k=1,..,N] λ(A_k)
がコーシー列、よって
任意のε>0に対してNが存在し、n≧Nならば
Σ[k=n,...,∞] λ(A_k)<ε
ということを言っているわけです。
問題は、∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_kの外測度を求めることですが上の事実を利用できることが分かると思います。上で示したNをとってきます。このとき
λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)≦Σ[k=N,..,∞] λ(A_k)<ε
となるのはほとんど明らかですね。任意のεに対してもっと大きい番号N'をとっても問題の集合はN'から先の和集合に含まれるわけですからこれは結局λ(∩[n=1,..,∞]∪[k=n,..∞] A_k)=0でなければならないことを示しています。

Qブルーツース 単三1本のマウス

はじめまして
都合によりブルーツース 単三1本で動くマウスを探しております。
携帯で使おうと考えておりますが、なかなか単三1本の物はなかなか見つかりません。

ロジクールの物を一つ見つけましたが、結局はUSBのコネクタを1つ使う事になるのでしょうか?
(ブルーツースの受信アダプタが付属しています。)
これを使わず PC本体に内蔵されたブルーツース機能で使えますでしょうか?
http://www.logicool.co.jp/ja-jp/349/6072?WT.ac=ps|6198


単三2本や単四などはあるのですが。
現在は、USBワイヤレスタイプの単三1本(logicool m185)を使っておりますが
PCの買い替えにより、USB端子が2つになり、ブルーツースに変更したいです。

以上 何かあればご紹介ください。

Aベストアンサー

>ロジクールの物を一つ見つけましたが、結局はUSBのコネクタを1つ使う事になるのでしょうか?
必要システム にUSBポートってかかれているものなら不可かと

単3 1本参考
エレコムM-BT1BLシリーズ
http://www2.elecom.co.jp/peripheral/mouse/m-bt1bl/

バファロー
BSMBB10Nシリーズ
http://buffalo.jp/products/catalog/supply/input/mouse/bluetooth/bsmbb10n/

Qa^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ

こんにちは。

[問]
a^(a+b)=b^24,b^(a+b)=a^6を同時に満たす1と異なるの正数a,bを求めよ。
[解]
a+b=24log[a]b
a+b=6log[b]a=6/log[a]b
なので
(log[a]b)^2=1/4
log[a]b=±1/2
a^(±1/2)=b
からどうしてもa,bが定まりませんどうすれば定まりますでしょうか?

Aベストアンサー

>a,b(>0)の大小関係のいかんによってはlog[a]b<0も有り得るのでは??

ええ、もちろん log[a]b を単独でみるときはそうです。でも、この式
   a+b=24log[a]b をみると、a も b も正の数ですから、左辺は
正の数ですよね。ということは、右辺の log[a]b は正の数でなければな
りませんよね?そういう意味で log[a]b>0 といったのです。
したがって、もし b=a^(-1/2)を log[a]b に入れると log[a]a^(-1/2)=-1/2
となり、a+b=-12 で「a,bは正の数」と言うことに矛盾してしまいます。

納得できたでしょうか。説明が足りなくてすみませんでした。

Qブルーツースのマウスについて

はじめまして
ご教授お願いします。
先日 ブルーツースのマウスを購入しました。
本マウスを使うことで、USBを無駄にせず(端子使用無しに)、ノートブックを使用できると思っていました。マウスには、ブルーツース用の受信機が付いております。小型の物です。USBに差し込むと自動認識をし、マウスが使用できます。本PCにもブルーツースが内蔵されていますので、USBを使わずに(本受信機を挿入すること無しに)、直接、PC本体のブルーツースで、接続できると思っておりましたが、これは無理なのでしょうか?

因みに各機材は以下です。
PC エイサー1410
マウス ロジテック m185
になります。

以上 ご教授をいただければ幸いです。

Aベストアンサー

> マウス ロジテック m185

上記マウスを購入したと言うことでしょうか?
ならば、勘違いをしてます。

そのマウスは、ワイヤレス(無線)マウスであり、
Bluetooth マウスではありません。

http://www.logitech.com/ja-jp/172/8511

よって、そのマウスを利用するなら、
付属のレシーバーをノートパソコンの USB ポートに接続する必要があります。

Logicool の Bluetooth マウスは下記製品ですので、
Bluetooth 式を利用したいなら、買い直す必要があります。

http://www.logitech.com/ja-jp/mice-pointers/mice/devices/5747

> 以上 ご教授をいただければ幸いです。

細かいところですが、「ご教授」よりは「ご教示」が適切になります。

Qn次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a

n次元球面、S^n={(a^1,・・・,a^n+1)∈R^n+1|(a^1)^2+・・・+(a^n+1)^2=1}が可微分多様体の構造をもつことを示せ。

という問題で、証明の中でいくつかわからないところがあります。わからない部分を≪≫で書きます。

証明)Vi^+={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai<0}
   Vi^-={(a^1,・・・,a^n+1)∈S^n|ai>0} (i=1,・・・,n+1) とおくと
≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫←この部分は当たり前に言えてしまうのでしょうか?
≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫←何故、同相であることを示すのでしょうか?

写像φi:Vi^+→E^n  φi^-1:E^n→Vi^+を実際に移していく。
この後は何とかわかるのですが最初の方の疑問をどなたかお願いします。

Aベストアンサー

≪これらはS^nの開集合でありS^nを覆っている。≫
開集合であることも、ほぼ自明ですよね。
本当に証明するなら、Vi^+(あるいはVi^-)の任意の点の近傍が、Vi^+(あるいはVi^-)に含まれることを言えばいいです。
また、
V0^+ ∪ V0^- ∪ … ∪Vn+1^+ ∪ Vn+1^- = S^
なんで、実際、覆ってますよね。

≪これらのVi^+,Vi^-がR^nの開集合E^n={(x^1,・・・,x^n)∈R^n|(x^1)^2+・・・+(x^n)^2<1}と同相であることを示す。≫
何故?って、これは多様体の定義そのものです。

多様体というのは、一言で言えば、つまり、
「局所的にユークリッド空間と(同相だと)みなせるような図形のこと」です。
とりあえず、Wikipediaのページの説明を見て、多様体とは何なのか直感的な理解をつかんでください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E6%A7%98%E4%BD%93


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