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こんにちは。高校2年生の者ですが、分からない問題があります。

ある金属が面心立方格子から体心立方格子に変化した際の体積増加率は何パーセントか?というものなのですが。


原子半径をaとして単位格子の1辺をaで表す事で体積をaで表して、計算した所、108.7%という数字が出てきてしまいました。こんな事はありえるのでしょうか?


 面心立方格子には原子が4つ含まれていて、体心立方格子には2つしか含まれていないので、面心立方格子1つから、体心立方格子が2つできると考えたのですが、これはまずいのでしょうか?


ヒントでもいいのでお願いします。

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A 回答 (3件)

考え方も計算も合ってます。

あともう一息で答えが出せますよ。

> 原子半径をaとして単位格子の1辺をaで表す事で体積をaで表して、
> 計算した所、108.7%という数字が出てきてしまいました。

(4/3)√(2/3)=108.7% ということですよね。
この数字は、面心立方格子の体積を100とすると体心立方格子の体積は108.7になる、という意味なので、体積増加『率』は

体積の増加分÷もとの体積 = (108.7-100)/100 = 8.7%

になります。
原子半径が変わらないと仮定すると、面心立方格子から体心立方格子に変化した際に、体積が「もとの体積の8.7%」だけ増加する、ということです。
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この回答へのお礼

体積増加「率」の考え方を勘違いしていました。面心立方格子から体心立方格子に変化した際の体積増加についての問題は初めて触れたので、ここまで気が回りませんでした。


間違いを指摘してくださり、ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/01 02:43

原子1つあたりの体積を求めて比べてみると分かると思います。

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最近接距離は等しいと考えるのでしょうか?


両結晶系の最近接距離に相当する原子間距離の方向は違いますよね。

この回答への補足

最近接距離は、面心立方格子でも体心立方格子でも同じだと思いますが。大学の内容はまだ分からないので、最近接距離は同じとして計算しました。

補足日時:2008/01/01 02:43
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Q鉄の結晶格子

あるテキストに、
「鉄の結晶は常温では体心立方格子であるが、
 910℃まで加熱すると面心立方格子に変化する。
 この時の密度は体心立方格子の密度の何倍か。」
という問題が書いてあり、
答えの導き方はわかったのですが、
その答えが1倍以上の値になるのが理解できません。
普通加熱したら、密度は小さくなるから、
答えは1倍以下の値になるのではないでしょうか?
詳しい説明をお願いします。

Aベストアンサー

#2です。
#2の回答は少し質問からずれていたようですね。

私は「なぜ高温側で密度の大きい結晶形、低温側で密度の小さい結晶形になっているのか、普通は逆ではないのか」という質問だと解釈してしまいました。
でも単純に「熱したら膨張するはず」というだけの質問ではないかと思い始めました。

加熱して起こる体積変化には2つの内容があります。
成分粒子の熱運動によって起こる体積変化と相変化によって起こる体積変化とです。
成分粒子の熱振動が激しくなれば粒子間の距離が大きくなります。狭いと動くことが出来ないのですから運動が激しくなるということは広い空間を占めるようになるということです。一般に起こることです。
でもこれは成分粒子間の位置関係が基本的に同じものである場合という仮定があります。1つの粒子の占める空間が大きくなれば相似形で全体の空間が大きくなると考える事ができる場合です。
結晶形が変わってしまうと成り立ちません。粒子間の距離は大きくなっているが全体の体積は小さくなるということも起こります。
鉄の場合でいうと910℃で結晶形が体心立方格子から面心立方格子に移ります。常温では体心立方格子です。体心立方格子の範囲であれば温度を上げると体積は増加します。鉄の線膨張率は293Kで11.8×10^(-6)/K、800Kで16.2×10^(-6)/Kです。
910℃に近づくにつれて鉄の原子半径は少しずつ大きくなっていっているのです。それにしたがって体心立方格子を決めていた鉄原子の電子軌道の特徴もなくなっていきます。だんだん丸くなっていく事になります。あるところでガラッっと並び方が変わってしまって球対称の粒子のパッキングになってしまうのです。その温度が910℃です。並び方は変わっていますが原子間の距離は変わっていません。
910℃の直前、直後で密度を比較すると約9%の増加です。でも常温の鉄(α鉄)と910℃の鉄(γ鉄)とで比較すると約1%の違いです。
α鉄とγ鉄で密度の違いはほとんどないと書いてある文章を目にしますが比較している温度を曖昧にしている様に思います。

これは「氷が融けると体積が減るのはどうしてか」という問いと似ています。「氷は隙間の多い構造をしている。融ける事によってこの構造が壊れ、隙間を埋めるような位置に水の分子が入っていくので体積が小さくなる」という説明がされています。固体から液体に移るときに結晶構造が壊れるということと結晶構造の特徴とが合わさっている事になります。氷の結晶は水素結合による正4面体構造です。HとOの電子軌道が関係しています。
4℃で密度が最大であるというのは氷の時の構造の特徴が消えてしまうのにある温度の幅が必要であるということです。すきまの多い構造の特徴がほぼなくなってから後では加熱すると体積が一様に大きくなっていきます。当然氷の範囲でも加熱すると体積が大きくなっていくはずです。氷と水の移り変りの所でだけ逆転が起こるのです。
氷の線膨張係数は-50℃で45.6×10^(-6)/Kです。

#2です。
#2の回答は少し質問からずれていたようですね。

私は「なぜ高温側で密度の大きい結晶形、低温側で密度の小さい結晶形になっているのか、普通は逆ではないのか」という質問だと解釈してしまいました。
でも単純に「熱したら膨張するはず」というだけの質問ではないかと思い始めました。

加熱して起こる体積変化には2つの内容があります。
成分粒子の熱運動によって起こる体積変化と相変化によって起こる体積変化とです。
成分粒子の熱振動が激しくなれば粒子間の距離が大きくなります。狭...続きを読む

Qミラー指数:面間隔bを求める公式について

隣接する2つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2) ・・・(1)

となる。

質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q水の温度と体積の関係式について知りませんか?

水の温度と体積の関係式について御存知の方、教えてください。

液体の温度と体積の関係が以下の関係であることが分かっています。
V=V0(1+αt)
ここで、V:液体の体積  V0:0℃の時の体積  α:線膨張率  t:温度

ただし、水が特殊な変化の仕方をしていて、温度と体積の関係が先に挙げた線形の変化ではなく、
4℃を最小の体積とした放物線(?)のような関係となっている事も分かっています。

「水の温度と体積(比重)の関係」について述べているものは沢山あるのですが、「関係式」については
いくら調べても見つかりません。
水に作用している圧力や純度等、おかれた状態によって異なるから簡単に式にできないのでしょうか?

仮に、以下のような条件の下では関係式を導き出せるのでしょうか?
<1気圧、純水(もしくは一般的な水道水)、0℃~100℃>

御存知の方、教えてください。

Aベストアンサー

こちらを参照しながら回答します。
http://www.geocities.jp/leitz_house/benri/mitudo_hijyuu.html
化学便覧に載っている数字だそうです。

データはあるのですから、経験式を作るのが一番です。
Microsoft の Excel(エクセル)とか Lotus 1-2-3 とか持ってますか?
以下に数値を示しますので、そっくりそのまま表にコピーして、散布図のグラフを作って、「近似曲線の追加」の機能を使えば、近似曲線の式が出てきますよ。
私が近似曲線の式を求めて、ここに書いちゃえば済むことなんですが、私が使っている表計算には、n次関数近似の機能がないので。

指数近似はダメですので、ご注意を。
n次関数で近似してください。
おそらく、五次関数~七次関数ぐらいがちょうど良いと思います。


------<水の密度>-------------------------------
(注意事項)
・これは密度の表です。
 比重の表にするには、全てのデータを4℃のときの密度で割ります。
・この表では、4℃の密度は 0.999973 となっていますが、
 これより新しい研究では、0.9999749 だそうです。
 (ですから、全データに 0.9999749/0.999973 を掛けた方がよいかもしれません)


【0~100℃】
0.0℃0.999841g/cm^3
1.00.999900
2.00.999941
3.00.999965
4.00.999973
5.00.999965
6.00.999941
7.00.999902
8.00.999849
9.00.999781
10.00.999700
11.00.999605
12.00.999498
13.00.999377
14.00.999244
15.00.999099
16.00.998943
17.00.998774
18.00.998595
19.00.998405
20.00.998203
21.00.997992
22.00.997770
23.00.997538
24.00.997296
25.00.997044
26.00.996783
27.00.996512
28.00.996232
29.00.995944
30.00.995646
310.99534
320.99503
330.99471
340.99438
350.99404
360.99369
370.99333
380.99297
390.99260
400.99222
410.99183
420.99144
430.99104
440.99033
450.99022
460.98980
470.98937
480.98894
490.98849
500.98805
550.98570
600.98321
650.98057
700.97779
750.97486
800.97183
850.96862
900.96532
950.96189
1000.95835


【0.0~30.9℃の詳細データ】(0.1℃刻み)
0.999841 0.0℃
0.999847 0.1℃
0.999854 0.2℃
0.999860 0.3℃
0.999866 0.4℃
0.999872 以下略
0.999878
0.999884
0.999889
0.999895
0.999900
0.999905
0.999909
0.999914
0.999918
0.999923
0.999927
0.999930
0.999934
0.999938
0.999941
0.999944
0.999947
0.999950
0.999953
0.999955
0.999958
0.999960
0.999962
0.999964
0.999965
0.999967
0.999968
0.999969
0.999970
0.999971
0.999972
0.999972
0.999973
0.999973
0.999973
0.999973
0.999973
0.999972
0.999972
0.999972
0.999970
0.999969
0.999968
0.999966
0.999965
0.999963
0.999961
0.999959
0.999957
0.999955
0.999952
0.999950
0.999947
0.999944
0.999941
0.999938
0.999935
0.999931
0.999927
0.999924
0.999920
0.999916
0.999911
0.999907
0.999902
0.999898
0.999893
0.999888
0.999883
0.999877
0.999872
0.999866
0.999861
0.999855
0.999849
0.999843
0.999837
0.999830
0.999824
0.999817
0.999810
0.999803
0.999796
0.999789
0.999781
0.999774
0.999766
0.999758
0.999751
0.999742
0.999734
0.999726
0.999717
0.999709
0.999700
0.999691
0.999682
0.999673
0.999664
0.999654
0.999645
0.999635
0.999625
0.999615
0.999605
0.999595
0.999585
0.999574
0.999564
0.999553
0.999542
0.999531
0.999520
0.999509
0.999498
0.999486
0.999475
0.999463
0.999451
0.999439
0.999427
0.999415
0.999402
0.999390
0.999377
0.999364
0.999352
0.999339
0.999326
0.999312
0.999299
0.999285
0.999272
0.999258
0.999244
0.999230
0.999216
0.999202
0.999188
0.999173
0.999159
0.999144
0.999129
0.999114
0.999099
0.999084
0.999069
0.999054
0.999038
0.999023
0.999007
0.998991
0.998975
0.998959
0.998943
0.998926
0.998910
0.998893
0.998877
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0.998826
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0.998774
0.998757
0.998739
0.998722
0.998704
0.998686
0.998668
0.998650
0.998632
0.998613
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0.997701
0.997678
0.997655
0.997632
0.997608
0.997585
0.997561
0.997538
0.997514
0.997490
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0.997271
0.997246
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0.996729
0.996703
0.996676
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0.996621
0.996594
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0.996485
0.996457
0.996429
0.996401
0.996373
0.996345
0.996317
0.996289
0.996261
0.996232
0.996204
0.996175
0.996147
0.996118
0.996089
0.996060
0.996031
0.996002
0.995973
0.995944
0.995914
0.995885
0.995855
0.995826
0.995796
0.995766
0.995736
0.995706
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0.995494 30.5℃
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0.995371 30.9℃

以上。

こちらを参照しながら回答します。
http://www.geocities.jp/leitz_house/benri/mitudo_hijyuu.html
化学便覧に載っている数字だそうです。

データはあるのですから、経験式を作るのが一番です。
Microsoft の Excel(エクセル)とか Lotus 1-2-3 とか持ってますか?
以下に数値を示しますので、そっくりそのまま表にコピーして、散布図のグラフを作って、「近似曲線の追加」の機能を使えば、近似曲線の式が出てきますよ。
私が近似曲線の式を求めて、ここに書いちゃえば済むことなんですが、私が使ってい...続きを読む

Q格子についてです。

格子についてです。

aを通常の格子定数とするとき、単純、体心、面心立方格子の基本格子の体積は、それぞれa^3,(a^3)/2,(a^3)/4となることを示してください。単位体積当たりの格子点数(原子数)はこれらの逆数で与えられます。

Aベストアンサー

単純立方格子は自明。

体心立方格子の基本格子ベクトルは,
a1~ = a/2(1,1,1),a2~ = a/2(1,1,-1),a3~ = a/2(-1,1,1)
ですから,求める体積は
V = a1~・a2~×a3~ = | a1 a2 a3 | = (a/2)^3×4 = a^3/2

面心立方格子の基本格子ベクトルは,
a1~ = a/2(0,1,1),a2~ = a/2(1,0,1),a3~ = a/2(1,1,0)
ですから,求める体積は
V = a1~・a2~×a3~ = | a1 a2 a3 | = (a/2)^3×2 = a^3/4

となると思います。

参考URL:http://www2.kobe-u.ac.jp/~lerl2/ssp%28I%29_04_16_08.pdf

Q体積の変化について

「水が摂氏100度で蒸気になったとき、その体積は約1700倍に膨張する。」という記述を読んだのですが、なぜそうなるのでしょうか。
手持ちの資料で調べたところ「あらゆる気体は圧力を一定に保っておく限り、温度が摂氏で1度変化するごとに摂氏0度における体積の1/273だけ変化する」という記述は見つけたのですが、液体から気体に変わった場合はどうなるのかは見つけられませんでした。
きっと探し方が悪いと思うのですが、物理はど素人なのでどこを探していいのか、どんな本を見ていいのかもわからないのです。
どなたかご説明していただけるととても嬉しいです。よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

普通、水1グラムは1mlですね。気体の状態方程式pV=(W/M)RTを使いp=1,M=水の分子量18、W=1(グラム)、R=0.082、T=273+100を代入するとV=1.699となります。
1mlから1.699lに体積が増えたので約1700倍ですよね。

Q平均分子量

平均分子量についてイマイチわかりません。高校生レベルで教えてください。

Aベストアンサー

>以下の内容は.高等学校で教えているのでしょうか。
>モル凝固点降下.モル沸点上昇.(気体の)分圧.浸透圧
これは高校化学で教えています。

みなさんの言うとおり、分子量×割合(分圧)で計算します。
平均分子量は見かけの分子量をあらわすので、その名のとおり、平均値です。
空気の場合は、窒素(分子量28)が78%、酸素(分子量32)が22%とするとこのとおり。
28×0.78 + 32×0.22 = 28.88(平均分子量)

Q六方最密格子の充填率の求め方

六方最密格子の充填率の求め方が分りません。今分っているのは面心立方格子と同じ0.74となることくらいです。
立方格子の場合は、原子を半径rの球体と考えて立方体の体積をrの式で求め、立方体内に含まれる原子の体積を求め、充填率を出しました。
六方の場合は…、同じようにやれると思うのですが、六角柱の体積をどう求めたらいいのか分りませんし、原子も一つがどれだけ立体内にあるのかも想像しにくいです。
解き方分る方ご教授願います。

Aベストアンサー

下記URLを参照ください.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E6%96%B9%E6%9C%80%E5%AF%86%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%A7%8B%E9%80%A0

Q長さの単位であるAの上に丸がついた記号は何mですか。

こんばんは。Aの上に丸がついた単位をよく見ますが、これは「オームストローム」のことでしょうか。違うのであればこの単位をメートルに直したときどのような値をとるのか教えてください。

Aベストアンサー

この答えでいいのでしょうか。

☆Å(オングストローム/angstrom) 
長さの補助単位。
10の-10乗=百億分の1メートル。電磁波の波長測定や、原子物理学・結晶学・分子学などで用いる。
記号 Å または A で表す。
スウェーデンの物理学者オングストレームの名にちなむ。

参考URL:http://www.sun-inet.or.jp/~nao2/jiten/sonota.htm

Q面心立方と体心立方の逆格子

固体物理の勉強をしています。
体心立方構造の(hkl)面の逆格子点 g*=ha* + kb* + lc*を逆空間で描くと面心立方構造になるらしいのですが、理由がわかりません。
分かる方いましたら、教えてください。お願いします。

Aベストアンサー

単純な計算だけで分かります。
体心立方格子のユニットベクトルは
a1=(-a/2,a/2,a/2), a2=(a/2,-a/2,a/2), a3=(a/2,a/2,-a/2)
です。aは格子定数です。
逆格子ベクトルは b1=2π(a2x a3)/(a1(a2xa3)) などですから、単純に計算すれば
b1=2π/a(0,1,1) , b2=2π/a(1,0,1), b3=2π/a(1,1,0)
となり、これは面心立方格子のユニットベクトルです。

Q密度の求め方

ある金属の密度を知りたい場合、
・結晶構造
・格子定数
・原子量
が分かっているとき、どのようにして計算すればよいのでしょうか?
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

簡単のため、格子定数が1つだけの面心立方格子と体心立方格子にだけ触れます。

単位格子当たりの原子の個数は、
・面心立方格子ならば4個
・体心立方格子ならば2個

だから、単位格子当たりの質量(単位はグラム)は、
・面心立方格子ならば4[個]×原子量[g/mol]÷アボガドロ数[個/mol]
・体心立方格子ならば2[個]×原子量[g/mol]÷アボガドロ数[個/mol]

(アボガドロ数 = 6.02E23個/mol)

一方、
格子の一辺の長さは、
格子定数[オングストローム]×10^(-10)[m/オングストローム]

だから、単位格子の体積は、
体積 = 一辺^3 = 格子定数^3 × 10^(-30) [m^3]


単位格子当たりの質量を単位格子の体積で割り算すれば密度[g/m^3]になります。


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