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数学II 相加平均、相乗平均

A,Bは正の定数とする。

(A+2/B)*(B+2/A)≧8を証明しなさい。

という問題なのですが、どうも理解できません。

この問題はもとより、相加平均、相乗平均についても教科書や参考書を読みましたが理解ができません。

どうか、わかりやすくお教えねがえませんでしょうか?

お願いいたします。

A 回答 (6件)

 (1)(2)(5)のみで良かったかとも思います。


 尚、文字は全て正とします。

(1)
  相加・相乗を、ひとつ下のスレッドで、
  (a+b)/2 ≧√ab と書きましたが、
     a+b≧2√ab  
とする方が色々都合が良いので、以下この書き方と思ってください。

(2)
相加・相乗を複数回使うときと、1回だけ使うときの区別が必要となります。質問の問題は、両方okです。

(3)
  2回使う例として、
 [p+(1/p)][q+(1/q)]、の最小値では、

 [p+(1/p)]≧2√[p*(1/p)]=2
 [q+(1/q)]≧2√[q*(1/q)]=2

 [p+(1/p)][q+(1/q)]≧4
 p=q=1で、最小値4 と。

(4)
  1回使う例として、質問文を変えて、
 [A+(2/B)][B+(4/A)]の最小値を求める際に、

[A+(2/B)][B+(4/A)]=AB+2+4+(8/AB)=AB+6+(8/AB)
と展開して、

 ABと(8/AB)に対して相加・相乗を適用して、

   AB+(8/AB)≧2√[AB*(8/AB)]
   AB+(8/AB)≧2√8
   AB+(8/AB)≧4√2

   等号成立は、
   AB=(8/AB) → AB=2√2 

   [A+(2/B)][B+(4/A)]≧6+4√2

 AB=2√2 のときに最小値 6+4√2 となります。

   これを、

  [A+(2/B)]≧2√[A*(2/B)]・・・P
  [B+(4/A)]≧2√[B*(4/A)]・・・Q
  辺々を掛けて、
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧(2√[A*(2/B)])(2√[B*(4/A)])
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧4√8
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧8√2

  と計算するすると、out になります。

out の原因は、
Pの等号成立は、A=(2/B) → AB=2
Qの等号成立は、B=(4/A) → AB=4
と等号条件が一致しないからです。


(5)本体

>> (A+2/B)*(B+2/A)≧8

<展開して相加・相乗を使う場合>

 [A+(2/B)][B+(2/A)]=(AB)+4+(4/AB)

 ABと(4/AB)に対して相加・相乗を適用して、
  (AB)+(4/AB)≧2√[(AB)*(4/AB)]
  (AB)+(4/AB)≧4
  よって

  [A+(2/B)][B+(2/A)]≧4+4=8

  等号成立は、
  (AB)=(4/AB)  → AB=2 

<[A+(2/B)],[B+(2/A)]に相加・相乗を使う場合>

  [A+(2/B)]≧2√[A*(2/B)]・・・R
  [B+(2/A)]≧2√[B*(2/A)]・・・S

     辺々を掛けて、
[A+(2/B)][B+(2/A)]≧(2√[A*(2/B)])(2√[B*(2/A)])
[A+(2/B)][B+(2/A)]≧8  

 Rの等号条件は、A=(2/B) → AB=2
 Sの等号条件は、B=(2/A) → AB=2
 と一致してokとなります。

<相加・相乗を使わない場合>

左辺-右辺
=[A+(2/B)][B+(2/A)]-8
=(AB)+4+(4/AB)-8
=(AB)-4+(4/AB) 
=[(AB)^2-4(AB)+4]/AB
=[(AB-2)^2]/AB≧0
・・・   。
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この回答へのお礼

とても詳しいご説明ありがとうございます。

相加平均、相乗平均は私にとって非常に理解に苦しんでいる範囲です。

これからも、どのような範囲でお助けをいただかざるを得ないかわかり

ませんがその折は、どうぞよろしくお願いいたします。

お礼日時:2008/01/04 18:56

蛇足:


#5 で
[A+(2/B)][B+(4/A)]≧8√2 とすると out
と書かれていますが, これは「不等式としては」全く正しい式です. もちろん, この式をもって「左辺の最小値は 8√2」といえるわけではないですが.
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A,Bは正の定数から、 


A+2/B≧2√(2A/B) ‥‥(1) 等号成立は、A=2/B、即ちAB=2のとき。
同様に、B+2/A≧2√(2B/A)‥‥(2) 等号成立は、B=2/A、即ちAB=2のとき。
(1)*(2)を作ると、(A+2/B)*(B+2/A)≧8。
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あんまり深く考える必要もなく



(A + 2/B)(B + 2/A) = AB + 4/(AB) + 4

よって AB = X > 0 とすれば

与式 = X + 4/X + 4 。

これに相加相乗平均を使うだけ
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すみません、


下の方の回答を見て思い出したのですが、
相加相乗平均の公式は
むやみに掛け合わせたらいけないんでした。
忘れてました。
したがってこれは間違いです。

>(A+2/B)と(B+2/A)について別々に相加送料平均の公式を使い、
>その辺々を掛ければ良いです。

理由も忘れてしまいました。
確か定数で固定できない時が駄目だったような・・・。
思い出したら書き込みます。
すみません。
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相加相乗平均



(X-Y)^2≧0はX、Yがどんな数でも成り立つので、
⇔X^2-2XY+Y^2≧0
⇔X^2+2XY+Y^2≧4XY
⇔(X+Y)^2≧4XY

X,Y≧0なら
X+Y≧2√(XY)←この式!

>(A+2/B)*(B+2/A)≧8を証明しなさい。

(A+2/B)と(B+2/A)について別々に相加送料平均の公式を使い、
その辺々を掛ければ良いです。
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