正四面体ABCDにおいて
A(1,3,0)
B(3,5,0)
C(3,3,2)
のとき、最後の頂点Dの座標をもとめる問題を教えて下さい。
幾何学的に2つ解がありそうなイメージはあります。
まず、AB間の距離が2√2であることを求めました。
そこでDの座標を(x,y,z)とし、Dは、A,B,Cからそれぞれ等距離(2√2)
であることから次の連立方程式を立式しました。
(x-1)^2+(y-3)^2+z^2=8 ・・・・(1)
(x-3)^2+(y-5)^2+z^2=8 ・・・・(2)
(x-3)^2+(y-3)^2+(z-2)^2=8 ・・・・(3)
これを以下のとおり計算して、
(1)-(2)より、
x+y=6 ・・・(4)
(2)-(3)より、
y-z=3 ・・・(5)
(1)-(3)より
x+z=3 ・・・(6)
の3本の一次式を得ましたが、(4)=(5)+(6)となってしまい、
解を特定できなくなってしまいました。
立式の方針に間違いがあるのでしょうか、あるいは、なにか
見落としがあるのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
(4)=(5)+(6)は、実は当たり前です。
3元連立方程式の2個ずつを加減して3個の式を導いてしまうと、必ずこのようになります。
消去法の視点からは、2個が導ければ良いわけで、(4)~(6)のうちの任意の2式から、変数3個のうちの2個が消去できてしまいます。
たとえば(4)(5)からなら、
x=6-y
z=y-3
が得られ、これを(1)に代入すれば、yだけの2次方程式になります。
この2次方程式は簡単に因数分解できて、解けてしまいます。
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