三角関数の問題で

y=3sinθ+4cosθ　(π/6≦θ≦2π/3)

の最大値最小値を求めよ、という問題を解いていました。久々にやったのでにぶっているのかもしれませんが、なかなか解けません。合成してもαの値は出ないし、微分かと思いきや数2の範囲だと言われて…。

方法を忘れているのか、もしくは手計算では出来ないのか、どなたかヒントをよろしくお願いいたします。

No.6 ベストアンサー 回答者： noname#47894 回答日時： 2008/01/08 10:03

最小値についてのみ。

合成して　y=５sin（θ＋α）　ただし、sinα＝4/5　cosα＝3/5
π/6≦θ≦2π/3　より、π/6＋α≦θ＋α≦2π/3＋α

ここで、1/√2＜sinα＜√3/2（あるいは、1＜tanα＜√3）なので、π/4＜α＜π/3
よって、5π/12＜π/6＋α＜π/2、11π/12＜2π/3＋α＜π

単位円上で最小値を考えると、第一象限側はsin(π/6＋α)で、sin(5π/12)＜sin(π/6＋α)＜1
第二象限側はsin(2π/3＋α)、０＜sin(2π/3＋α)＜sin(11π/12)＝sin(π/12)
sin(1π/12)＜sin(5π/12)　なので、第二象限側で最小値をとる。
その時のθ＝2π/3

というような、ロジックで示せばO.K.です。
計算は自分で確認を．．．

No.7 回答者： take_5 回答日時： 2008/01/08 10:38

合成は考え難いところがあるようだ。

別解を示そう。

π/6≦θ≦2π/3より、cosθ＝x、sinθ＝yとおくと、x＾2＋y＾2＝1、and、-1/2≦x≦√3/2、1/2≦y≦1である‥‥(1)。
k＝4x＋3y‥‥(2)とし、(1)をxy平面上に図示すると、(2)が(1)の円に接するときに最大、点（-1/2、√3/2）を通るときに最小。

以上から、-2＋3√3/2≦k≦5。

但し、昨日の飲み会で飲みすぎて頭が痛い。。。。。笑い
したがって、計算のチェックはして下さい。否、推論もかな。。。苦笑

No.5 回答者： ngtk 回答日時： 2008/01/08 00:55

>αがπ/12以下（まぁ明らかにありえませんが）のは考慮しなくていいのでしょうか？

とありますが、cosα=3/5 sinα=4/5なのでαはπ/12以下ではなくだいたいπ/4≦θ≦π/3ではないでしょうか？三角比の表というものを見るとαは大体53°になるようです。
この問題はθの範囲が中途半端なのでαの大きさによっては最小値がθ＝2π/3のときかθ＝π/6のときかは変わると思います。この場合のαだと最小値はθ＝2π/3のときになると思います。
（θ＝π/6のとき最小値をとるのはα＜π/12のときだと思います。α＝π/12のとき、θ＝π/6とθ＝2π/3は同じ値を示します。単位円を書いてみてください。）

No.4 回答者： age_momo 回答日時： 2008/01/08 00:32

#3です。

書き間違いです。
αがπ/3より大きいか小さいかを考えてください。
つまり、sin(π/3)=√3/2が4/5より大きいか小さいかです。
大きければ
θ+αはπ/2より小さくならず単純減少です。
一方、小さければθ+α=π/2が可能で最大値は5
最小値は3sin2π/3 + 4cos2π/3
です。

No.3 回答者： age_momo 回答日時： 2008/01/08 00:04

>合成してもαの値は出ない

最大、最小を求めるだけならαを出す必要はありません。

y=3sinθ+4cosθ=5sin(θ+α) ただし、sinα=4/5

θの領域が(π/6≦θ≦2π/3)ですからαがπ/6より大きければ
θ=π/6の時に最大値になりますし、最小値は0になります。
一方、π/6より小さければ最大値は5で最小値はθ=2π/3を
計算すればよいと思います。
sinα=4/5とsin(π/6）の大小関係を考えてください。

No.2 回答者： ngtk 回答日時： 2008/01/07 23:58

ヒントというか解答になってしまいました。

y=5sin(θ+α)
ただし　cosα=3/5 sinα=4/5　とする
cosα＞0、sinα＞0より0＜α＜π/2
π/6≦θ≦2π/3なので
π/6　+α≦θ+α≦2π/3　+α
0＜α＜π/2より単位円（もしくはグラフ）を書くと
最大値はsin(θ+α)＝１のときより　　５
最小値はθ+α＝2π/3　+αのときつまりθ＝2π/3のときで代入するとわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
最大値は質問した後にすぐに分かりました。
最小値は…。αがπ/12以下（まぁ明らかにありえませんが）のは考慮しなくていいのでしょうか？

お礼日時：2008/01/08 00:10

No.1 回答者： koko_u_ 回答日時： 2008/01/07 23:42

>合成してもαの値は出ないし

でなくても最大／最小はわかる。