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閉包と集積点と内部(及び境界)の関係を、初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。特に、それらが集合において何を意味しているのかを教えていただけないでしょうか。

閉包A ̄は、
任意のxの近傍V(x)において、V(x)∩A≠φ(φは空集合)であるxの集合
集積点a(A)は、
T∩(A-{x})≠φとなるxの集合
(Aの相違な元列が1点Pに近づくときのPのこと…?)
内部i(A)は、
Aに含まれる位相空間(X,τ)の開集合全体の和集合である。i(A)={a∈A:V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在する}

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A 回答 (7件)

>現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。



それは正しいのですが,もしかして集合には
開集合と閉集合しかないと思ってませんか?
閉集合の定義はたしかに「開集合の補集合」ですが,
それは決して
「開集合ではない集合を閉集合という」
という意味ではありません.
これは初心者がよくおかす勘違いです.

例:
(0,1] は開集合でも閉集合でもない
(0,1] の内点集合は (0,1)
(0,1] の閉包は [0,1]
(0,1] の集積点からなる集合は [0,1]
(0,1] の境界は {0,1}

自分で具体例を構築する訓練をしてください.
非数学科の方が応用が主眼なので,より複雑なものが
でてくる傾向があります.
#顕著な例は,金融方面の確率偏微分方程式とか
#工学系だと,なにかの状態空間の議論かな,位相とか使いそうなの.

この回答への補足

丁寧に回答していただきありがとうございます。
まさにこのような具体例を知りたかったので非常に参考になりました。
おっしゃる通り開集合と閉集合しかないと思っていました。
すごく納得できました。

テキストは大部分が記号だけの説明で、数学というより日本語として本当に読解できているのかが不安になります。
基本的なことからこつこつがんばってみたいと思います。

補足日時:2008/01/18 00:27
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位相を距離空間による位相が入っている場合で考え方になれた後、抽象化された位相空間に入られたらすっとわかるのではないでしょうか。

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この回答へのお礼

ありがとうございます。
やってみます。

お礼日時:2008/01/18 00:24

大学の数学科、数理科学科の学生が位相数学、位相空間を学習する場合と、それ以外の学部学科の学生、一般の人の学習とを分けて考えたほうが親切だと思います。

数学科の学生の場合、No.1からNo.4の回答は正しいと思います。一般の人が位相空間を学習する場合、教科書を選ぶところから大変です。有名な教科書「集合・位相入門」松坂和夫著、「トポロジー」竹ノ内修廣川書店を手に入れて、実際に読んでみると、なかなかすすまない。やさしい教科書をさがして、数学30講シリーズ「集合への30講」「位相への30講」朝倉書店にたどりつけば、少しはかどる。日本評論社「はじめよう位相空間」大田春外著には、質問を受け付けるホームページもある。
特に仕事で必要な人以外は、時間をかけてじっくり挑戦してください。「理系への数学」という雑誌でも、位相数学の入門講座が連載されているようです。http://www.gensu.co.jp/
http://www.nippyo.co.jp/maga_susemi/index.htm

参考URL:http://www.ipc.shizuoka.ac.jp/~echohta/top.html
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
ちょうど、「集合への30講」「位相への30講」や「解いてみよう位相空間」にたどり着いたところでした。
本来のテキストは定義がずら~っと書いてあるだけで、イメージもできなかったので苦しかったのですが、どのような考え方をすればいいのかがやっとわかってきました。
貴重な情報ありがとうございました。

お礼日時:2008/01/18 00:23

>いろいろな教材を見てもいまいち"どんなモノ"のことを言っているんだろうと想像できないんです。


結論としては、経験を積むしかありません。

位相の概念は upperupper さんも記載しているように非常に単純なものです。
単純なだけに、その適用範囲は非常に広いです。

様々なサンプル、例題の載っている参考書を見ながら一歩ずづ進むしかありません。
この回答欄でちょろっと書けるような内容ではありません。

この回答への補足

ありがとうございます。
がんばってみます。

補足日時:2008/01/18 00:19
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Aが開集合だったらi(A)=A?


そのとおりです。
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引用開始



閉包は、A ̄は、Aという開or閉集合を含んだ閉集合で、Aを包み込んでいるもの。
集積点は、開or閉集合の中の元が近づいていっている点
内部は、開or閉集合Aの中の元xの近傍V(x)がそのAの中にある場合、それらを全部集めた集合なので、Aの中にある開集合の一番大きいもの。。。Aが開集合だったらi(A)=A?

引用終わり

十分では?ただし間違えあり.
閉包も内部も集積点も
閉集合・開集合だけを相手にしたものでは
ありません.
もちろん,Aが開集合のときは i(A)=A だし
i(A)=AならばAは開集合です.

この回答への補足

回答ありがとうございます。

閉包は、包み込んでいるものと書いたのですが、
例えば、全体集合がRでその中にC⊂B⊂Aという二つの部分集合があった場合、C ̄とは、上記の集合が閉集合であるならば、BもAもRも閉包と言えるのですか?
もし、A、B、Cが開集合であった場合は、どう考えればいいのですか?

あと、「閉集合・開集合だけを相手にしたものではありません.」とは、どういうことでしょうか。恐縮ですが、もうすこし教えてください。 位相ということですか?
現段階で、位相はある全体集合の中に、ある決まりに基づいた開集合、閉集合を規定すること?と理解しています。

補足日時:2008/01/16 23:24
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>初心者でもわかるように教えていただけないでしょうか。


そういうのは人に教えてもらうようなモンじゃないよ。
定義から自分でイロイロ考えてこそ「わかる」ようになるのです。

まずは upperupper さんが何処までわかったのかを補足にどうぞ。
そして不明な箇所をもっと明確にして下さい。

この回答への補足

あまりに漠然とした質問で申し訳ないと思っています。
ただ、これらを考える上で、どのように頭の中にイメージしながら論述していくのかを知りたいと思っています。
定義、定理を覚えて、ある定理を使えば、この問題は解けるというような勉強では理解できないと思い、自分の中で関係をイメージをしながら、定義、定理を利用できないか、その為には、なんかすごく簡単な一例やどういう思考方法で向き合えばいいのかを知りたかったのです。
いろいろな教材を見てもいまいち"どんなモノ"のことを言っているんだろうと想像できないんです。甘えです。。。

少なくとも、今理解していることを書いてみます。
開集合、閉集合はわかっていると思います。
あるxで、xの近傍をV(x)としたらV(x)⊂AとなるものAは開集合です。
Aの境界までを含むAは閉集合です。開集合の補集合

閉包は、A ̄は、Aという開or閉集合を含んだ閉集合で、Aを包み込んでいるもの。
集積点は、開or閉集合の中の元が近づいていっている点
内部は、開or閉集合Aの中の元xの近傍V(x)がそのAの中にある場合、それらを全部集めた集合なので、Aの中にある開集合の一番大きいもの。。。Aが開集合だったらi(A)=A?

補足日時:2008/01/16 22:36
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Q集積点が、まったく分かりません!!

集積点の意味がまったくわかりません。詳しく教えてください。

Aベストアンサー

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるようなx以外のAの要素が存在するような点」
と言い替えられます。

直観的な言い方をすれば、x∈XがAの集積点であるとは
「xのどんな近くにも(x以外の)Aの点がある」
と言う条件をみたすような点のことです。

ついでに集積点との対比で孤立点も覚えてしまいましょう。
集積点とはある意味で対照的なものが孤立点です。
すなわちx∈XがAの孤立点であるとは
xがAの要素であり  …(S1)
かつxのある近傍とAの共通部分にx以外のAの点が含まれない。…(S2)
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「あるεに対してxからの距離がε以下であるようなAの要素はxだけであるような点」
となります。

注意していただきたいのはx∈AであることはxがAの集積点であるためには
必要でも十分でもないということです。
xがAの点であってもそれが孤立点ならxは集積点ではないし、Aの点でないような
Aの集積点も存在します。
しかし孤立点と言う概念は集合Aの要素に対して与えられる概念ですから、Aに
属さない点が(S2)の条件だけ満たしてもそれをAの孤立点とは呼びません。

あとは距離空間(ユークリッド空間)での簡単な例を挙げておきますのでイメージをつかんで下さい

例(1)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| x^2 + y^2 < 1} ∪ (2.0)
とします。つまりAは原点中心半径1の開円盤と点(2,0)の和集合です。
するとAの集積点(の集合)は
{(x,y)∈X| x^2 + y^2 ≦ 1}
すなわち原点中心半径1の開円盤とその境界となります。
点(2,0)は孤立点なので集積点ではありません。

例(2)Xを2次元ユークリッド空間として
A={(x,y)∈X| y = sin(1/x) ,x∈(0,∞) }
とします。Aの集積点(の集合)はA自身と集合
B={(0,y)∈X| y∈[-1,1] }
の和集合です。

例(3)Xを1次元ユークリッド空間として
A= { 1/n | n=1,2,…}
とします。原点{0}はAの集積点です。しかしA自身の点はすべて孤立点です。

例(4)Xを1次元ユークリッド空間として
Aは開区間(0,1)の有理点。すなわち
A= { x∈(0,1)|xは有理数 }
とします。Aの集積点(の集合)は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Xをある位相空間、AをXのある部分集合とします。
x∈XがAの集積点であるとは
xの任意の近傍とAの共通部分にx以外のAの点が少なくとも1つは含まれる
ような点のことです。
Xが距離空間なら、これは
「任意のεに対してxからの距離がε以下であるよう...続きを読む

Q集合 補集合 閉包

集合 補集合 閉包

補集合は、全体集合をUとすると全体集合からある集合Aを取り除いた部分の集合をAの補集合
と呼びます。記号では、Aバー,A^cなどで表されます。

閉包も同様にAバー,A^cの記号で表されますが、補集合と閉包は関係があるのでしょうか?
また、閉包については理解が乏しいので、解説(図解)していただけると有難いです。

ご回答、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行すれば、d(a, b) - r > 0 です。この左辺を r' と置きます。すなわち、r' = d(a, b) - r > 0 です。これにより、b に対して r' という正の実数が存在することが確認されました。そして、b を中心とする半径 r' の球体 B(b; r') を新たに設けます。

  B(b; r') に含まれる任意の点を x と表わすことにします。すなわち、x ∈ B(b; r') です。三角不等式 (* 1) によって、次の 1) が満たされます。

1) d(a, b) ≦ d(a, x) + d(x, b)

  この 1) の右辺における d(x, b) (= d(b, x) < r') を左辺に移項します。これにより、次の 2) が満たされます。

2) r = d(a, b) - r' < d(a, b) - d(x, b) ≦ d(a, x)

  よって、x ∈ B(a; r) ではありません。よって、B(b; r') ⊆ (B(a; r))^c です。よって、b は (B(a; r))^c の内点です。これで前半の証明は完了しました。

  後半の証明として、(B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。このことと内部の定義より、(B(a; r))^e ⊆ (B(a; r))^c は明らかです。さらに、(B(a; r))^c = {x| x ∈ R^2, d(a, x) ≧ r} ですから、次の 3) という包含関係が示されます。

3) (B(a; r))^e ⊆ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r}∪{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r}

  そこで、次の 4) という包含関係を示せば、後半の証明は完了します。(* 2)

4) {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} ⊆ (B(a; r)^e)^c

  よって、{x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} に含まれる任意の点を b と表わすことにし、すなわち b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) = r} であるとし、この b を中心とするどんな球体も B(a; r)^c の部分集合にならない、すなわちこの b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されれば、後半の証明は完了します。

  任意の正の実数を r' と表わすことにします。すなわち, r' ∈ R, r' > 0 です。この r' に対して、正の実数 p を次の 5) という不等式を満たすように選びます。

5) p < min{1, r'/r}
  ( すなわち、r' ≧ r であるときは p < 1 を満たすように p を選び、r' < r であるときは p < r'/r (< 1) を満たすように p を選びます )

  そして、c という点を次の 6) のとおりに設けます。ただし、a = (a_1, a_2), b = (b_1, b_2) であるとします。( 添付画像・右を参照してください )

6) c = (b_1 + p(a_1 - b_1), b_2 + p(a_2 - b_2))

  このとき、次の 7) と 8) が満たされます。

7) d(a, c)
  = (((a_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((a_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = ((((a_1 - b_1) - p(a_1 - b_1))^2) + (((a_2 - b_2) - p(a_2 - b_2))^2))^(1/2)
  = (((1 - p)^2)((a_1 - b_1)^2) + ((1 - p)^2)((a_2 - b_2)^2))^(1/2)
  = (1 - p)(d(a, b)) = (1 - p)r < r

8) d(b, c)
  = (((b_1 - (b_1 + p(a_1 - b_1)))^2) + ((b_2 - (b_2 + p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p(a_1 - b_1))^2) + (((p(a_2 - b_2)))^2))^(1/2)
  = (((p^2)((a_1 - b_1)^2)) + ((p^2)((a_2 - b_2)^2)))^(1/2)
  = p(d(a, b)) = pr < r'

  よって、c ∈ B(a; r)∩B(b; r') です。すなわち、この c という点の存在により、b を中心とするどんな球体も B(a; r) と必ず交わることが示されます。

● (* 1)

  平面 (= 2次元 Euclid 空間 R^2) 上の 3つ の点 u, v, w を次のとおりに表わすものとします。

  u = (u_1, u_2), v = (v_1, v_2), w = (w_1, w_2)

  このとき、d(u, w) ≦ d(u, v) + d(v, w) という不等式が満たされます。すなわち、

  (((u_1 - w_1)^2) + ((u_2 - w_2)^2))^(1/2)
  ≦ ((((u_1 - v_1)^2) + ((u_2 - v_2)^2))^(1/2)) + ((((v_1 - w_1)^2) + ((v_2 - w_2)^2))^(1/2))

  という不等式が満たされます。この不等式は、平面上における三角不等式と呼ばれるものです。( 三角関数を含んでいる不等式のことを「 三角不等式 」と呼ぶこともあるようですが、それとは別です )

  s_1 = u_1 - v_1, s_2 = u_2 - v_2, t_1 = v_1 - w_1, t_2 = v_2 - w_2 と置きます。このとき、三角不等式は次のとおりに改められます。

  (((s_1 + t_1)^2) + ((s_2 + t_2)^2))^(1/2)
  ≦ (((s_1^2) + (s_2^2))^(1/2)) + (((t_1^2) + (t_2^2))^(1/2))

  この不等式は、両辺を 2乗 して、s_1^2, s_2^2, t_1^2, t_2^2 を消去し、2 で割って、2乗 することによって得られる次の不等式と同等です。

  ((s_1)(t_1) + (s_2)(t_2))^2 ≦ (s_1^2 + s_2^2)(t_1^2 + t_2^2)

  これは「 Schwarz の不等式 」です。「 Schwarz の不等式 」の証明については、高校数学で取り扱われているようですので、記述は省略します。

● (* 2)

  S, T, U をそれぞれ命題を表わすものとします。このとき、次の合成命題はトートロジーとなります。

  ((S→(T∨U))∧(U→¬S))→(T→S)

  この合成命題がトートロジーになっていることが、後半の証明のやりかたに深くかかわっていると、私は考えます。深くかかわっている理由を示すには、述語論理を加味した 推論図 ( もしくは演繹図 ? ) を描くという手段がてっとり早いと思われます。
  ところが、正式なその図の描きかたを、私は残念ながら知りません。お許しください。

● 以上の記述がまちがっていましたら、ごめんなさい。

● (B(a; r))^e = {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} の証明

  まず、{x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} ⊆ (B(a; r))^e を示します。外部の定義より、(B(a; r))^e = ((B(a; r))^c)^i です。

  {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} に含まれる任意の点を b と表わすことにします。すなわち、b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} です。この b が B(a; r)^c の内点であることを示せば、この証明の前半は完了します。( 添付画像・左を参照してください )

  b ∈ {x| x ∈ R^2, d(a, x) > r} より、d(a, b) > r です。この右辺を左辺にに移行す...続きを読む

Q最大元と極大元の定義の違いが分かりません

数学の基礎「齋藤正彦著」p22からの抜粋です。

定義
(X,≦)を順序集合,AをXの部分集合とする。
「1) aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ時,aをAの最大元といい,maxAと書く,Aの全ての元xに対してa≦xが成り立つ時,aをAの最小元といい,minAと書く。最大元や最小元は存在するとは限らない,あるとすれば一つしかない。
2) aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない時,aを極大元という。x<aなるAの元が存在しない時,aを極小元という。極大元や極小元は存在しない事も有るし,沢山存在する事もある」

と定義が紹介されてるのですが最大元と極大元についてのこの文意
"aがAの元でAの全ての元xに対してx≦aが成り立つ"と"aがAの元で,Aのいかなる元xに対してもa<xとならない"
とは同値だと思います。
違いが分かりません。

一体,どのように違うのでしょうか?

Aベストアンサー

>最大元と極大元の定義の違いが分かりません
最大元と極大元は抽象的に考えても違いが分からなくて当然だと思います。ここは具体例で理解するのがよいと思います。

例はいろいろ考えられますが、たとえば、(x,y)∈R^2について、
(x1,y1)≦(x2,y2)をx1≦x2かつy1≦y2と定義します。
A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}
のとき、Aの最大元は存在しませんが、極大元は3個あります。ちなみに最小限は(0,0)の1個ですね。

ところで、最大元が存在する場合は、全順序集合、半順序集合に関係なく、それは極大元でもあります。しかし、その逆は成り立ちません。
その意味で、「同値」ではありませんね。

QKer(核)やIm(像)の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
(解が一通りしかない場合)もありますが、解がない場合だって
ありますよね? これも、Aの中身によります。
そこで、xをいろいろ変えてみて、でてくるbを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ax=0の解xの集合、
Im(A)は、Ax=bが解ける場合のbの集合
とでも理解しておけばいかがですか?
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルxは、
  b=Ax
という対応によって、別のベクトルbにうつされます。
このとき、b=0になるのはどんな場合かを考えてみます。
x=0の場合は、b=0です。
しかし、Aの中身によっては、x≠0なのに、b=0
になる場合があるでしょう?
b=0になるような、xをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Imのほうですが、bを好き勝手に決めたとして、
 b=Ax
となるような、xがいつでもきめられるでしょうか?
どんなbに対しても、連...続きを読む

Q「一点aを閉集合であることを示せ」。 一点aは集合でないのでこの文章は間違ってますよね?

「ユークリッド空間Rの一点aは閉集合であることを示せ」
(昨日のテスト問題です)
これ、一点aが閉集合であることという言い方がおかしいですよね?
点aはまず集合でないのでそれを集合と言っている時点で誤りだと思うし、A={a}とするならAは点と言わない。
おそらく、一点aのみを元とした集合だと思ったのです。でもあくまで
集合の元を点と言っているだけでA自身は集合なので、問題の説明は誤っていますよね?

Aベストアンサー

1点集合のことですね。1点からなる集合{a}を意味してるはずです。
ユークリッド空間Rですから、もっと書くと[a,a]のような閉区間です。

位相空間をやっているようなので、もう既にご存じだと思いますが、数学で「点」にはいろんな意味があるので、あながちおかしいとも言い切れません。そういう使い方をしてる数学の方は大勢いらっしゃいますし。
私としては、1点でもいいと思います…。

ちゃんとした回答じゃありませんが、参考までに。。

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q位相(閉包の性質について) 初心者です。

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。」
がなぜなのかわかりません。

以前の質問にも同じ問題に対して質問されている方がいらっしゃり、その回答では、

「「x∈B ̄⇒(A∧A')∧B≠Φ 」で、つまり閉包の性質「x∈B ̄⇔xの任意の開近傍Uに対してB∧U≠Φ」であるからである。

となっていたのですが、
なぜなのかわかりません。
そもそもこの閉包の性質の意味が理解できません。
どなたか、詳しく教えていただけないでしょうか?

以下の問題の証明がわかりません。

問.位相空間(X,T)の2つの部分集合A、Bについて、
  Aが開集合のとき、
          A∧B ̄ ⊂(A∧B) ̄ 
 が成り立つことを証明せよ。

解答として、以下の解答例があったのですが、

x∈A∧B ̄ とし、A’をxを含む任意の開集合とすれば、
 A∧A'もxを含む開集合で、
 x∈B ̄であるためには (A∧A')∧B≠Φ でなければならない。
 すなわち、A'∧(A∧B)≠Φ である。
 したがって、  
       x∈(A∧B) ̄

3行目と4行目の
「 x∈B ̄で...続きを読む

Aベストアンサー

>Bの閉包は、集合Bということではないのですか?
そういった疑問が湧いた場合は、まずは簡単な例をもって考察すると良い。

例えば開区間 U = { x ∈ R | -1 < x < 1 } を考えると良いだろう。
すると 1 ∈ R が U の閉包に含まれているか「確認」したくなりますね。

それが出来れば、元の問題を解くことも容易いだろう。

Q閉包、境界を求めたい。

次の問題がわかりません。
問.ユークリッド平面R^2の部分集合族{An:n∈N}ただし、
  An=( 1/(n+1),1/n )×[0,1) について、

  (1)Cl (U {An:n∈N})を求めよ。(Clは閉包を表します。)
  (2)Bd (U {An:n∈N})を求めよ。(Bdは境界を表します。)

(1)は、U{An:n∈N})=(0,1)×[0,1)となって、
   Cl(U{An:n∈N})=[0,1]×(0,1] となると思ったのですが。

閉包や境界の定義を見ながら考えているのですが、具体例で考えると
わかりません。上の問の答をどうやって求めればよいか教えてください。

Aベストアンサー

No1です。(2)の回答が違っているようですね。

(2)は[0,1]×{0,1}∪{1,1/2,1/3,・・・,0}×[0,1]

となるでしょうか。

Q上極限、下極限が理解できません

大学で習っているのですが、limsupやliminfなどが定義を見ても、どういう意味なのか理解できません。

上界、下界、上限、下限については例があったので、なんとか理解することができました。


X={1,2,3}⊆Zのとき、下界の1つとして0がとれる。

こんな感じで、簡単な例つきで説明して下さると、理解できると思うのですが・・・。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

上極限

sin(n)で考えましょう。nは自然数です。
sin(n)は振動しているので極限はないけど、
「nが大きい時(というか初めからだけど)1を超えることはない」
「1付近の値を何回も(無限回)とる」
から1が上極限です。
ことばでいえば、
「ずっと先のほうでは、上極限の値より大きくならない」
(極限の意味でです。∀ε>0に対し上極限+εより大きくならないってことです)



この例では下極限はー1ですね。

(sin(n)-1)*n の場合だと、
上極限は0で、下極限は「なし」(-∞)となりますね。

Q一様連続でないの厳密な証明は?

微分積分の期末テストで次の問題が出ました。

次の命題の正誤を答えよ。ただし理由も与えること。

命題:関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続である。

この問題で自分は次のように解答しました。

(証)αを与えられた区間内の任意の要素とし、εを任意の整数とする。

あるδとしてmin.(ε/2|α|+1,1)とする。

このとき|x-α|<δ⇒|f(x)-f(α)|=|x^2-α^2|=|xーα|・|x+

α|<・・・・・(略)<δ(2|α|+1)<ε

となり、故にf(x)=x^2は区間[0,∞)で一様連続でない。(なぜなら、δがε

だけでなくαにも依存するから)

この解答で一応マルはもらえたのですが、はじめにδを上のようにしたものだけを考

えていい理由は何なんですかね?もしかしたらεだけでδを表せるかもしれないの

に。考えてはみてるんですがなかなか納得のいく答えが見つかりません。よかった

ら力になってください。よろいくお願いします。

Aベストアンサー

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の問題(ε-δの応用問題は大体そうです)
を考える時は命題を論理式で書いておくと証明すべきことが見やすくなります。
まず「関数f(x)が区間[a,b)で連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∀α∈[a,b) ∃δ>0  ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)
でしたね。つまりこの場合δはεとαの両方に依存しても構わない。
一方「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続である」を論理式で書くと
∀ε>0 ∃δ>0 ∀α∈[a,b) ∀x(|x - α| < δ ⇒ |f(x) - f(α)| < ε)……(1)
となります。変数δとαに関する記述の位置が入れ替わっていることに注意して下さい。
この場合δはεだけに依存します。
そして「関数f(x)が区間[a,b)で一様連続でない」という命題はこれの否定命題ですから
∃ε>0 ∀δ>0 ∃α∈[a,b) ∃x(|x - α| < δ かつ |f(x) - f(α)| ≧ ε)……(2)
となります。(論理式の変形規則についてはご存知でしょうね)

つまり「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことを証明するためには,具体的なεと任意のδをとってきてそのε,δの組に
対して(2)式の括弧内の条件を満たすようなα,xがとれることを示せば良いのです。
これを示しましょう。

ε=1/2とし,任意のδを1つ固定し, α≧ 1/(2δ) とします。
x= α+(δ/2) とするとxは(1)式の前提条件
|x - α| < δ を満たします。しかし
|f(x) - f(α)|= |x^2 - α^2| = | (α+(δ/2))^2 - α^2 |= | αδ + δ^2/4 |≧ 1/2 =ε
ですから一様連続でないことがいえました。          ■

証明が間違っているにも関わらず先生が○をくれた理由は推測するしかありませんが
(1)一応「一様連続でない」という結論はあっているので、
証明も正しいものと勘違いした
(2)実は先生もわかってない(まさかね^^;)
(3)一応「一様連続でない」という結論はあっていることと
証明を読んで(間違いではあるものの)一様連続性についても
一応は理解しているものと判断して○にした。

というところが考えられますが本当のところ先生に聞いてみた方が良いでしょうね。

ikecchiさんご自身で疑問を感じるのは当然で、ikecchiさんの解答は実は
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で連続である」
ことの証明にはなっていますが
「関数f(x)=x^ 2は区間[0,∞)で一様連続でない」
ことの証明にはなっていません。その理由はご自身で書かれている通り
「ある」δについてαに依存することを証明しても、「任意の」δがαに依存する
ことは証明されないからです


「一様連続でない」ということを証明するには何を示せば良いのでしょうか。
変数の任意性や依存関係が絡み合うこの種の...続きを読む


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