No.2ベストアンサー
- 回答日時:
集合Xが凸集合であるとは、X内の任意の2点A,Bに対して、線分ABがXに
含まれていることである。もう少し式を使えば、任意のλ(0≦λ≦1)
に対して、λA+(1-λ)B∈Xとなることである。
∩[i∈I]Xiから任意の2点A,Bをとる。
AもBもすべてのXiに含まれており、Xiは凸集合だから線分ABはXiに含ま
れている。
つまり、線分ABはすべてのXiに含まれており、線分ABはXiの共通集合
∩[i∈I]Xiに含まれている。
よって、∩[i∈I]Xiは凸集合である。
一般に、共通集合は、それぞれの集合の共通の性質を引き継いでいると
いうことか。
式より以前に、意味を考えるようにすると良いと思います。
∀x,y∈∩[i∈I]Xiを採ると, x,y∈X1,x,y∈X2, x,y∈X3,…(Iは可算集合とは限りませんが,,,)と含まれていて
∀λ∈[0,1]に対し、λx+(1-λ)y∈X1,λx+(1-λ)y∈X2,λx+(1-λ)y∈X2,…
(∵凸集合の定義)
従って,λx+(1-λ)y∈∩[i∈I]Xi(∵共通部分の定義)
ですね。
お陰様で上手くいきました。どうも有り難うございました。
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