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[問]Rは実数体で∀B⊂R^nに対し,Bを含む最小の凸集合Aが存在する事を示せ。
[証]
Bを含む凸集合の共通部分A:=∩[C∈{C;B⊂C:凸集合}]C
を考えたのですが
∀x,y∈A,∃C∈{C;B⊂C:凸集合} such that x,y∈C.
所が∀λ∈[0,1],λx+(1-λ)y∈Cは言えるが
λx+(1-λ)y∈Aとは必ずしも言えないと思います。
どうすればλx+(1-λ)y∈Aが言えますでしょうか?

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A 回答 (2件)

共通部分だから。

∃C じゃなくて∀C ですね。
そして論理記号の使い方がかなりあやふやと見ました。普通に日本語で論述しましょう。
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この回答へのお礼

有難うございました。
お陰様で解決致しました。

お礼日時:2008/01/20 01:56

Bを含む凸集合全体の共通部分が凸集合であれば、それがBを含む最小の


凸集合であるということは分かっており、凸集合の共通部分が凸集合で
あることを示したい、という趣旨でしょうか。
たまたま、2つ前にも同じ質問がありました。

{Ci}i∈Iを凸集合の族として、
∩[i∈I]Ciから任意の2点x,yをとる。
xもyもすべてのCiに含まれており、Ciは凸集合だから線分xyはCiに含ま
れている。
つまり、線分xyはすべてのCiに含まれており、線分xyはCiの共通集合
∩[i∈I]Ciに含まれている。
よって、∩[i∈I]Ciは凸集合である。
(線分xyは{λx+(1-λ)y|λ∈[0,1]})
このような議論の仕方は典型的なもので、凸集合以外でも、開集合
とかの場合でも使うことがあります。
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この回答へのお礼

有難うございました。
お陰様で解決致しました。

お礼日時:2008/01/20 01:55

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